Wat is rekenkunde? Hoofdstelling van de rekenkunde. binaire rekenkunde

Wat is rekenkunde? Toen de mensheid begon te nummers te gebruiken en met hen samenwerken? Waar zijn de wortels van het alledaagse begrippen zoals getallen, breuken, aftrekken, optellen en vermenigvuldigen, die persoon is een integraal onderdeel van zijn leven en vooruitzichten gemaakt? Griekse geest bewonderde zoals wetenschappen zoals wiskunde, rekenkunde en geometrie, als een prachtige symfonie van menselijke logica.

Misschien wiskunde is niet zo diep als de andere wetenschappen, maar wat zou er met hen gebeuren, mensen vergeten de elementaire tafels van vermenigvuldiging? Vertrouwd voor ons logisch denken, met behulp van getallen, breuken, en andere hulpmiddelen om mensen moeilijk te maken, en voor een lange tijd was niet beschikbaar voor onze voorouders. In feite, voor de ontwikkeling van de rekenkunde geen enkel gebied van de menselijke kennis was niet echt wetenschappelijk.

Rekenen - Wiskunde is het alfabet

Rekenen - de wetenschap der getallen, waarmee een persoon begint de kennismaking met de fascinerende wereld van de wiskunde. In de woorden van M. V. Lomonosov, rekenkunde - dit is de poort van het leren, het openen van de manier voor ons om Miropoznanie. Maar hij heeft gelijk, is kennis van de wereld kan worden gescheiden van de kennis van letters en cijfers, wiskunde en meningsuiting? Misschien in de oude dagen, maar niet in de moderne wereld, waar de snelle ontwikkeling van wetenschap en technologie maakt zijn eigen wetten.

Het woord "rekenkundige" (Grieks. "Arifmos") van Griekse oorsprong, betekent "nummer". Het onderzoekt het nummer en alles wat kan worden geassocieerd met hen. Dit is de wereld van getallen: verschillende bewerkingen op getallen, cijfermatige regels, de taken die worden geassocieerd met de vermenigvuldiging, aftrekken, en ga zo maar door ..

Het wordt algemeen aanvaard dat de eerste stap is het rekenkundig Wiskunde en solide basis voor de meer complexe profielen zijn, zoals algebra, wiskundige analyse, hogere wiskunde en t. D.

Het hoofddoel van rekenkundige

De basis van rekenkundige - een geheel getal, eigenschappen en wetten die worden beschouwd als de hoogste rekenkundige of getaltheorie. In feite, hoe de juiste aanpak in de behandeling van dergelijke een kleine eenheid wordt genomen, als een natuurlijk getal afhankelijk van de sterkte van het gebouw - wiskunde.

Daarom is de vraag die rekenkunde, het antwoord is simpel: het is de wetenschap van de nummers. Ja, over de gebruikelijke zeven, negen, en dit alles diverse gemeenschap. En net zo goed, en de meest middelmatige verzen kan niet schrijven zonder basisalfabet, zonder rekenen zelfs niet basistaken kunnen worden opgelost. Dat is de reden waarom alle wetenschappen pas na de ontwikkeling van rekenen en wiskunde zijn gevorderd, in de eerste plaats een set van aannames.

Rekenen - science-ghost

Wat is rekenkunde - natuurwetenschap of een fantoom? In feite, zoals de oude Griekse filosofen met redenen omkleed, geen getallen, geen cijfers in werkelijkheid niet bestaat. Het is gewoon een fantoom, die wordt gemaakt in het menselijk denken bij het bekijken van het milieu en haar processen. In feite, wat is het nummer? Nergens in de buurt zien we niet iets dergelijks zou het aantal te noemen, in plaats van het aantal - het is een manier om de wereld van de menselijke geest te verkennen. Misschien is deze studie hebben we in zichzelf? Filosofen twisten over deze gedurende vele eeuwen in een rij, dus een uitputtende antwoord dat we hebben niet de intentie te geven. Hoe dan ook, kan het rekenkundig zo stevig op hun positie in de moderne wereld niemand kan worden beschouwd als maatschappelijk aangepast zonder de kennis van de fundamenten te nemen.

Als er een positief geheel

Natuurlijk, het hoofddoel van die werkt rekenkunde, - natuurlijke getal zoals 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... enz Rekenkunde van natuurlijke getallen is het gevolg van de kosten van de gewone voorwerpen, zoals koeien in een weiland. Toch is de definitie van "veel" of "een beetje" wanneer iets heeft opgehouden om mensen te houden, en moest meer geavanceerde teltechniek uitvinden.

Maar de echte doorbraak kwam toen de menselijke geest het punt dat één en hetzelfde nummer van "twee" aan te wijzen en 2 kg, en 2 baksteen en 2 delen kan worden bereikt. Het feit dat het noodzakelijk te abstraheren van de vormen, kenmerken en betekenis van voorwerpen is, dan kunnen we wat actie met deze voorwerpen in de vorm van positieve gehele getallen te produceren. Zo ontstond het rekenkundig van getallen, die verder wordt ontwikkeld en uitgebreid in het bezetten van een positie in de samenleving.

Een dergelijke diepgaande het getalbegrip, als nul en negatieve getallen, breuken, nummers verwijzen naar de nummers op een andere manier, hebben een rijke en interessante geschiedenis van de ontwikkeling.

Rekenen en praktische Egyptenaren

Twee oude menselijke metgezel in de studie van de wereld en het oplossen van alledaagse problemen - dit rekenkunde en geometrie.

Er wordt aangenomen dat de geschiedenis van de rekenkunde heeft zijn oorsprong in de oude Oost: India, Egypte, Babylon en China. Dus, Rhind papyrus Egyptische oorsprong (zo genoemd omdat het dezelfde naam die behoren tot de eigenaar), die dateren uit de twintigste eeuw. BC, naast andere waardevolle gegevens omvatten de uitbreiding van een fractie het aantal fracties met verschillende noemers en teller gelijk aan één.

Bijvoorbeeld: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Maar wat is de betekenis van een dergelijk complex ontleding? Het feit dat de Egyptische aanpak niet geabstraheerde denken over aantallen tolereren, integendeel, de berekeningen zijn gemaakt alleen voor praktische doeleinden. Dat wil zeggen dat de Egyptenaren worden betrokken bij een dergelijke business as berekeningen, enkel en alleen om het graf te bouwen, bijvoorbeeld. Het was noodzakelijk om de lengte van de vin structuur te berekenen, en het heeft voor een persoon papyrus zitten. Zoals te zien is, werd de Egyptische vooruitgang in de berekeningen genoemd, in plaats van massief, het bouwen, in plaats van een liefde voor de wetenschap.

Daarom berekeningen gevonden op papyrus, kan niet worden reflecties op het gebied van fracties genoemd. Waarschijnlijk is het een praktische voorbereiding, die hielpen om problemen met breuken verder op te lossen. De oude Egyptenaren hadden de tafel van vermenigvuldiging niet weet, produceerde een vrij lange berekeningen, verdeeld in vele subtaken. Misschien is dit een van die subtaken. Het is gemakkelijk op te merken dat de berekeningen met deze blanks is zeer tijdrovend en niet erg veelbelovend. Wellicht om deze reden dat we niet zien een grote bijdrage aan de ontwikkeling van de oude Egyptische wiskunde.

Het oude Griekenland en filosofische rekenkundige

Veel van de kennis van de Oude Oosten werden met succes beheerst door de oude Grieken, waarvan bekend is dat fans van abstract, abstracte en filosofische reflectie. Oefen ze geïnteresseerd zijn in niets minder dan het beste theoretici en denkers zijn moeilijk te vinden. Het was goed voor de wetenschap, want wiskunde is niet mogelijk diep te gaan, is het niet te scheuren met de werkelijkheid. Uiteraard is het mogelijk om de koeien 10 en 100 liter melk te vermenigvuldigen, maar niet in staat om erg ver.

Grieken denken diep liet een aanzienlijke marge in de geschiedenis, en hun werken hebben bij ons terecht:

• Euclid en "Elements".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

En, natuurlijk, maakt al de filosofie van de Grieken, en vooral de aanhangers van Pythagoras gevallen waren zo enthousiast over de nummers, waardoor ze een mysterie wereld harmonie beschouwd. De nummers zijn zo bestudeerd en onderzocht, dat een aantal van hen en hun paren toegeschreven speciale eigenschappen. Bijvoorbeeld:

• Perfect getal - die de som van alle delers zijn behalve het getal zelf (6 = 1 + 2 + 3).
• Friendly nummers - deze nummers, waarvan er één is de som van alle delers van de tweede en vice versa (Pythagoras kennen slechts één dergelijk paar: 220 en 284).

De Grieken, die geloofden dat de wetenschap moet worden bemind, niet om met haar in het belang van de winst, hebben grote vooruitgang geboekt, het verkennen, spelen en het toevoegen van nummers. Hierbij moet worden opgemerkt dat niet alle van hun onderzoek op grote schaal zijn gebruikt, zijn enkele van hen waren slechts "voor schoonheid."

Eastern denkers van de Middeleeuwen

Ook in de Middeleeuwen rekenkundige zij haar ontwikkeling te danken heeft aan de oostelijke tijdgenoten. De Indianen gaf ons de cijfers die we actief zoiets als "nul", en de positie variatie te gebruiken systeem voor de berekening, de gebruikelijke moderne waarneming. Van Al-pap, die in de 15e eeuw in Samarkand werkten, hebben we de erfelijke decimalen, zonder welke het is moeilijk voor te stellen moderne rekenen.

In veel opzichten, Europa kennis met de verworvenheden van de Oost mogelijk dankzij werd gemaakt om het werk van de Italiaanse wetenschapper Leonardo Fibonacci, die een boek "Liber Abaci" schreef, kennis te laten maken met oosterse innovaties. Het is de hoeksteen van de ontwikkeling van de algebra en rekenkunde, onderzoek en wetenschappelijke activiteiten in Europa te worden.

Russische rekenkundige

Tot slot, rekenen, heeft zijn plaats gevonden en geworteld in Europa, begon te verspreiden op de Russische land. Russische eerste rekenkundige gepubliceerd in 1703 - het was een boek over rekenkunde Leontiya Magnitskogo. Lange tijd was het de enige les in wiskunde. Het bevat de eerste momenten van algebra en meetkunde. De cijfers, die werden gebruikt in de voorbeelden van de Russische eerste leerboek van de rekenkunde, Arabisch. Hoewel de Arabische cijfers eerder hebben ontmoet, in de gravures die teruggaat tot de 17e eeuw.

Het boek zelf is versierd met afbeeldingen van Archimedes en Pythagoras, en op de eerste pagina - afbeelding rekenkunde als een vrouw. Ze zit op de troon, eronder in het Hebreeuwse woord voor de naam van God wordt geschreven, en op de stappen die leiden naar het altaar, gegraveerd met het woord "afdeling", "verhoging", "Bovendien", en ga zo maar door. D. Men kan alleen maar voorstellen wat waarde verraden zulke waarheden, die nu gemeengoed worden beschouwd.

Het handboek van 600 pagina's beschrijft als de basis van zoals optellen en tafels van vermenigvuldiging, en toepassingen voor navigatiedoeleinden wetenschappen.

Niet verrassend, heeft de auteur het beeld van de Griekse denkers voor zijn boek gekozen, omdat hij zelf werd gegrepen door de schoonheid van de rekenkunde, zeggende: "Rekenen is chislitelnitsa er zijt schoon, nezavistnoe ...". Deze benadering van rekenkundige gegrond is, want het is de wijdverspreide toepassing kan worden beschouwd als het begin van de snelle ontwikkeling van het wetenschappelijk denken in Rusland en algemeen onderwijs.

ongemakkelijk priemgetallen

Priemgetal - het is een natuurlijk getal, dat op slechts 2 positieve delers: 1 en zichzelf. Alle andere nummers, met uitzondering van 1 composiet genoemd. Voorbeelden van priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, en alle anderen die niet anders dan 1 delers en het aantal zelf zijn.

Als voor de nummer 1, het is op een premie - er overeenstemming dat het niet eenvoudig en evenmin verbinding moet worden overwogen. Eenvoudig op het eerste gezicht een simpel getal verbergt vele onopgeloste mysteries in zichzelf.

Stelling van Euclides zegt dat een oneindig aantal priemgetallen en Eratosthenes kwam met een speciale rekenkundige "zeef", die ingewikkelde nummers elimineert, waardoor alleen eenvoudig.

De essentie is om de eerste undelete aantal benadrukken, en in de daaropvolgende doorhaling die veelvouden daarvan zijn. We herhalen deze procedure meerdere malen - en ontvang een tafel van priemgetallen.

Hoofdstelling van de rekenkunde

Onder de observaties over priemgetallen moeten speciaal wijzen de elementaire rekenkundige stelling.

Basis rekenkundige stelling bepaalt dat elke geheel getal groter dan 1, of een eenvoudige of het kan worden ontleed in een product van priemgetallen tot de orde van de herhaling factoren, de enige manier.

Hoofdstelling van de rekenkunde bleek nogal omslachtig, en begrijpen het is niet zoals alleen de basics.

Op het eerste gezicht, de priemgetallen - elementaire concept, maar is het niet. Physics ook ooit beschouwd als elementair atoom, tot ze gevonden in een universum. Primes wijdde een mooi verhaal wiskundige Don Zagier "De eerste vijftig miljoen priemgetallen."

Van de "drie appels" naar deductieve wetten

de wetten van de rekenkunde - die echt kan een versterkte basis van alle wetenschap genoemd worden. Zelfs als kind al het rekenkundig gezicht, het bestuderen van het aantal armen en benen op de poppen, het aantal blokjes, appels en ga zo maar door. D. Dus bestuderen we rekenkundige, die vervolgens vordert in meer complexe regels.

Ons hele leven laat ons kennismaken met de regels van de rekenkunde, die om voor de gewone man de meest bruikbare van al dat de wetenschap geeft. De studie van getallen - het is "Arithmetic baby", die de mens introduceert in de wereld van getallen als cijfers in de vroege jeugd.

Hogere Rekenen - deductieve wetenschap die de wetten van de rekenkunde bestudeert. De meesten van hen weten dat we, hoewel misschien hebben we niet de exacte formulering te leren kennen.

De wet van optellen en vermenigvuldigen

Twee gehele getallen a en b kan worden uitgedrukt als de som van a + b, die ook een natuurlijk getal. Met betrekking tot de Bovendien zijn de volgende wetten:

• Commutatieve, dat zegt dat de verwisseling van de termen plaatst bedrag niet veranderen, of a + b = b + a.
• Associatieve dat genoemde som niet afhankelijk van de wijze van groeperen van de termen plaatsen, of + (b + c) = (a + b) + c.

Regels van de rekenkunde, zoals optellen, - een van de basic, maar ze worden gebruikt alle wetenschappen, niet om het dagelijkse leven te noemen.

Elke twee getallen a en b kan worden uitgedrukt in het product of een b * a * b, dat is ook een natuurlijk getal. Om het product dezelfde commutatieve en associatieve wetten zijn van toepassing met betrekking tot de toevoeging van:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Het is interessant dat er een wet, die optellen en vermenigvuldigen, ook bekend als een distributie of distributieve wet combineert:

a (b + c) = ab + ac

Deze wet leert ons om te werken met haakjes, ze te openen, dus kunnen we nu al werken met meer complexe formules. Dit zijn de wetten die ons zal leiden door de gezellige maar complexe wereld van de algebra.

Law rekenkundige order

over de wetten van de menselijke logica gebruikt het elke dag, zijn horloge controleren en tellen van de rekeningen. En toch, en het moet worden gemaakt in een specifieke taal.

Als we twee positieve gehele getallen a en b, dan is de volgende opties:

• a gelijk is aan b, en a = b;
• minder dan b, en a
• a groter dan b en a> b.

Van de drie opties kunnen slechts enige zijn. De Basic Law, die de procedure regelt, zei: Als a

Er zijn ook wetten die de acties van de volgorde van toevoeging en vermenigvuldiging binden: Indien a

De wetten van de rekenkunde leerde ons om te werken met getallen, tekens en haakjes, het draaien van alles in een harmonieuze symfonie van getallen.

Positionele en nonpositional nummering

We kunnen zeggen dat de nummers - dit is de taal van de wiskunde, van het gemak van die hangt van veel dingen. Er zijn vele systemen van de berekening, die net als de alfabetten van verschillende talen verschillen.

Beschouw het nummersysteem van het botspunt posities op de kwantitatieve waarde van het cijfer op deze plaats. Bijvoorbeeld, Roman systeem nonpositional waarbij elk nummer wordt gecodeerd door een specifieke reeks speciale tekens: I / V / X / L / C / D / M zijn respectievelijk de nummers 1/5/10/50/100/500 / 1000. In dit systeem, is het cijfer niet de kwantitatieve bepaling te veranderen, afhankelijk van op welke positie zij: .. De eerste, tweede, enz. Om de andere nummers te krijgen, is het noodzakelijk om vast te stellen de basis. Bijvoorbeeld:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Meer vertrouwd voor ons cijfersysteem behulp van Arabische cijfers is positionele. In een dergelijk systeem het aantal afvoerstations definieert het aantal cijfers, bijvoorbeeld drie-cijferige nummers: 333, 567, etc. Het gewicht van elk van de afvoer is afhankelijk van een positie waarop de figuur is een of de ander, bijvoorbeeld figuur 8 in de tweede positie een waarde van 80. Het is typisch voor het decimale systeem, zijn er andere positiestelsel zoals binaire.

binaire rekenkunde

Wij zijn vertrouwd decimale stelsel, bestaande uit single-bit en multi-bit getallen. De afbeelding links in de cijfers tienmaal groter belang aan een aan de rechterkant. Dus, gebruikten we lezen 2, 17, 467, enz. D. Het is een andere logica en benadering gedeelte die heet "binaire rekenkunde." Dit is niet verwonderlijk, omdat de binaire rekenkunde niet is gemaakt voor menselijke logica, en voor de computer. Als het rekenkundig van cijfers afkomstig uit de telling, die verder geabstraheerd van het onderwerp woning aan "naakte" rekenen, dan zal deze niet werken met de computer. In staat zijn om hun kennis met de computer te delen, een man moest een modelberekening uit te vinden.

Binaire rekenkundige werkt met de binaire alfabet, die alleen bestaat uit 0 en 1. En het gebruik van dit alfabet is een binair systeem genaamd.

In tegenstelling tot de binaire rekenkundige decimale dat het belang van de positie van de linkerkant zijn niet langer 10, en 2 keer. Binaire getallen zijn van het formulier 111, 1001 en ga zo maar door. D. Hoe moeten we deze cijfers begrijpen? Zo beschouwen we het nummer 1100

1. Het eerste teken links - 1 * 8 = 8, gezien het feit dat het vierde cijfer, wat betekent dat het moet worden vermenigvuldigd met 2, krijgen we de 8-plaats.
2. Tweede cijfer 1 * 4 = 4 (stand 4).
3. Het derde cijfer 0 * 2 = 0 (stand 2).
4. Het vierde cijfer 0 * 1 = 0 (stand 1).
5. Dus onze nummer 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Dat wil zeggen dat de overgang naar een nieuwe categorie aan de linkerkant van de betekenis ervan in het binaire stelsel wordt vermenigvuldigd met 2 en de decimale - tot 10. Een dergelijk systeem heeft een nadeel: het is te groot groei bits die nodig zijn om nummers op te nemen. Voorbeelden decimale getallen dvochinyh zoals te zien is in de onderstaande tabel.

Decimale getallen worden in binaire vorm hieronder.

Het wordt ook octale gebruikt, en hexadecimale nummering.

Deze mysterieuze rekenkundige

Wat is rekenkunde, "twee plus twee" of onontgonnen geheimen van de nummers? Zoals u kunt zien, rekenen, kan, en het lijkt op het eerste gezicht een simpel, maar het is niet duidelijk bedrieglijk gemak. Het is mogelijk om kinderen te bestuderen en samen met tante Uil van de cartoon "Arithmetic baby", en je kunt duiken in het diepe wetenschappelijk onderzoek bijna filosofische orde. In de geschiedenis het is gegaan van het tellen van objecten om de schoonheid van de nummers te aanbidden. Een ding is zeker: met de oprichting van de fundamentele postulaten van de rekenkunde, kunnen alle wetenschap rekenen op haar sterke schouder.