De vergelijking van het vlak: hoe te maken? Vliegtuigtypes vergelijkingen

Het vliegtuig ruimte kan verschillend gedefinieerd (één stip en vector, de vector en de twee punten, drie punten, etc.). Het is met het oog hierop kunnen de vlakvergelijking verschillende types. Ook onder bepaalde omstandigheden vlak kunnen evenwijdig, loodrecht kruisende, etc. Op deze en zal in dit artikel spreken. We zullen leren om de algemene vergelijking van het vliegtuig en niet alleen te maken.

De normale vorm van de vergelijking

Veronderstel R de ruimte _3, die een rechthoekige coördinatensysteem XYZ. We definiëren een vector α, die zal worden vrijgemaakt uit het beginpunt O. Door het uiteinde van de vector α trekken vlak P dat loodrecht daarop.

P duiden op een willekeurig punt Q = (x, y, z). De straal vector van punt Q brieventeken p. De lengte van de vector gelijk α p = IαI en ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).

Dit eenheidsvector die is gericht in de richting vector α. α, β en γ - zijn hoeken die worden gevormd tussen de vector en de positieve richting ʋ ruimteassen x, y, z resp. De projectie van een punt op vector QεP ʋ een constante is die gelijk is aan p (p, ʋ) = p (r≥0) is.

De bovenstaande vergelijking is zinvol wanneer p = 0. Het enige n vliegtuig in dit geval punt O (α = 0), die de oorsprong en eenheidsvector ʋ, vrijgemaakt uit het punt O steek zal loodrecht op P, hoewel zijn richting, waardoor de vector ʋ vastgesteld tot aan het bord. Voorgaande vergelijking is ons vlak P, uitgedrukt in vectorvorm. Maar met het oog op de coördinaten:

P is groter dan of gelijk aan 0. We hebben de vlakvergelijking normale vorm gevonden.

De algemene vergelijking

Indien de vergelijking in de coördinaten vermenigvuldigen met elk getal dat niet gelijk is aan nul, krijgen we de vergelijking gelijk aan toe dat het vliegtuig definieert. Het zal de volgende vorm hebben:

Hier, A, B, C - is het aantal gelijktijdig nul is. Deze vergelijking wordt de vergelijking van de algemene vorm van het vliegtuig.

De vergelijkingen van de vliegtuigen. bijzondere gevallen

De vergelijking kan in het algemeen worden gemodificeerd met extra voorwaarden. Denk aan een aantal van hen.

Neem aan dat de coëfficiënt A 0. Dit geeft aan dat het vlak evenwijdig met de bepaalde as Ox. In dit geval, de vorm van de vergelijking verandert: Wu + Cz + D = 0.

Evenzo zal de vorm van de vergelijking en afhankelijk van de volgende voorwaarden:

• Ten eerste, als B = 0, de vergelijking verandert Ax + Cz + D = 0, die evenwijdig aan de as Oy zou aangeven.
• Ten tweede, als C = 0, de vergelijking wordt omgezet in Ax + By + D = 0, dat wil zeggen evenwijdig met de bepaalde as Oz.
• Ten derde, als D = 0, wordt de vergelijking weergegeven als Ax + By + Cz = 0, hetgeen betekent dat het vlak snijdt O (de oorsprong).
• Ten vierde, als A = B = 0, de vergelijking wijzigingen CZ + D = 0, waarbij zal blijken het parallellisme Oxy.
• Ten vijfde, wanneer B = C = 0, de vergelijking Ax + D = 0, waardoor het vlak evenwijdig aan Oyz.
• Ten zesde, als A = C = 0, de vergelijking is uitgevoerd Wu + D = 0, d.w.z. dat het parallellisme Oxz melden.

Vorm van de vergelijking in segmenten

In het geval getallen A, B, C, D nul is, de vorm van vergelijking (0) als volgt zijn:

x / y + a / b + z / c = 1,

waarbij a = D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Wij ontvangen tengevolge vergelijking van het vlak in stukjes. Opgemerkt wordt dat dit vlak de X-as snijdt in het punt met de coördinaten (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) en Oz - (0,0, s).

Gezien de vergelijking x / y + a / b + z / c = 1, is het niet moeilijk om de bevoorradingsvlak ten visualiseren een vooraf bepaald coördinatenstelsel.

De coördinaten van de normaalvector

De normaalvector n op het vlak P heeft coördinaten die de coëfficiënten van de algemene vergelijking van het vlak, dat wil zeggen n (A, B, C) zijn.

Om de coördinaten van de normale n te bepalen, kan worden volstaan met de algemene vergelijking gegeven vlak kennen.

Bij gebruik van de vergelijking in segmenten die de vorm x / a + b / y + z / c = 1, wanneer bij gebruik van de algemene vergelijking kan worden geschreven coördinaten van elke normaalvector een gegeven vlak: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Opgemerkt dient te worden dat de normale vector bij te dragen tot diverse problemen op te lossen. De meest voorkomende problemen bestaan ten bewijze loodrechte of evenwijdige vlakken, het opzoeken de hoek tussen de vlakken of hoeken tussen de vlakken en rechte lijnen.

Type volgens de vlakvergelijking en coördinaten van het punt normaalvector

Een nul vector n, loodrecht op een gegeven vlak, genaamd normaal (normaal) tot een vooraf bepaalde vlak.

Stel dat in het coördinatenstelsel (een rechthoekig coördinatenstelsel) OXYZ ingesteld:

• Mₒ punt met coördinaten (hₒ, uₒ, zₒ);
• nulvector n = A * B * i + j + k * C.

Je moet de vergelijking van het vlak dat door de Mₒ punt loopt loodrecht op de normaal n maken.

In de ruimte kiezen we elk willekeurig punt en geven M (x, y, z). Laat de straal vector van elk punt M (x, y, z) wordt r = x * i + y * j + z * k en de straal vector van een punt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + k * zₒ. Het punt M wordt tot een gegeven vlak, wanneer de vector MₒM loodrecht op de vector n is. We schrijven de voorwaarde van orthogonaliteit gebruik van het scalaire product:

[MₒM, n] = 0.

Aangezien MₒM = r-rₒ, wordt de vector vergelijking van het vlak uitzien:

[R - rₒ, n] = 0.

Deze vergelijking kan ook een andere vorm. Daartoe de eigenschappen van het scalair product en zette de linkerzijde van de vergelijking. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Als [rₒ, n] aangeduid als s, verkrijgt men de volgende vergelijking: [r, n] - a = 0 of [r, n] = s, waarbij de constantheid van de uitsteeksels aan de normaalvector van de straal vectoren van de gegeven punten dit vlak behoort tot expressie brengt.

Nu kunt u de coördinaattype registratievlak onze vectorvergelijking [r - rₒ, n] = 0. Aangezien r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k en n = A * i + j + B * C * k geldt:

Het blijkt dat we de vergelijking wordt gevormd vlak door het punt loodrecht op de normaal n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) * S (z-zₒ) = 0.

Type volgens de vlakvergelijking en coördinaten van de twee punten van de vector vlak collineaire

We definiëren twee willekeurige punten M '(x', y 'z') en M "(x", y", z "), alsmede de vector (a', a", a' '').

Nu kunnen we vergelijking voorafbepaald vlak door het huidige punt M 'en M" geeft en elk punt met de coördinaten M (x, y, z) evenwijdig aan een gegeven vector schrijven.

In dit geval zijn de vectoren M'M = {xx, yy, zz '} en M' M = {x "-x 'y' y 'z" z'} moet coplanair met de vector zijn a = (a', a "a' ''), waardoor (M'M M" M, a) = 0.

Dus onze vergelijking van een vliegtuig in de ruimte ziet er als volgt uit:

Type vlakvergelijking, kruisen drie punten

Laten we zeggen dat we drie punten: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' 'Have' '', z '' '), die niet behoren tot dezelfde lijn. Er moet vergelijking van het vlak door de drie gespecificeerde wegschrijft. meetkunde theorie stelt dat dit soort vliegtuig bestaat, het is gewoon een en alleen. Aangezien dit vlak snijdt het punt (x 'y', z '), de vorm van een vergelijking zou zijn:

Hier, A, B en C verschillen van nul tegelijkertijd. Ook gegeven vlak snijdt twee punten (x "y", z ") en (x '' ', y' '', z '' '). In dit verband dient te worden uitgevoerd dit soort voorwaarden:

Nu kunnen we een uniform maken van vergelijkingen (lineair) met onbekenden u, v, w:

In ons geval x, y of z staat willekeurig punt waar vergelijking (1) voldoet. Gelet vergelijking (1) en een stelsel van vergelijkingen (2) en (3) het stelsel vergelijkingen aangegeven in bovenstaande figuur de vector voldoet N (A, B, C) dat is triviaal. Het is omdat de determinant van het systeem is nul.

Vergelijking (1), die we hebben, dit is de vergelijking van het vliegtuig. 3 point ze echt gaat, en het is gemakkelijk te controleren. Om dit te doen, we uitbreiden van de determinant van de elementen in de eerste rij. Van de bestaande eigenschappen bepalend volgt dat ons vliegtuig tegelijkertijd snijdt drie oorspronkelijk vooraf bepaald punt (x 'y', z '), (x "y", z "), (x' '', y '' ', z' ''). Dus hebben we besloten om de taak voor ons.

Tweevlakshoek tussen de vlakken

Tweevlakshoek ruimtelijke geometrische vorm gevormd door twee halve vlakken die uitgaan van een rechte lijn. Met andere woorden, een deel van de ruimte die is beperkt tot de halve vlakken.

Stel dat we twee vlak met de volgende vergelijkingen:

We weten dat de vector N = (A, B, C) en N¹ = (A¹, H¹, S¹) volgens vooraf bepaalde vlakken loodrecht. In dit opzicht is de hoek φ tussen vectoren en N N¹ gelijke hoek (tweevlakshoek), die zich tussen deze vlakken. Het scalaire product wordt gegeven door:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

juist omdat

cos = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + + s² V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Het is voldoende om dat 0≤φ≤π overwegen.

Eigenlijk twee vlakken die elkaar kruisen, vormen twee hoek (tweevlakshoek): φ ₁ en φ _2. Hun som gelijk is aan n ₍₁ φ + φ = π _2). Wat hun cosinussen, hun absolute waarden gelijk, maar het zijn verschillende signalen, dat wil zeggen cos φ = ₁ -cos φ _2. Indien de vergelijking (0) vervangen door A, B en C -A, -B en -C respectievelijk de vergelijking, krijgen we zullen hetzelfde vlak bepalen, de enige hoek φ in vergelijking cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Wordt deze vervangen door π-φ.

De vergelijking van het loodvlak

Genoemd loodrechte vlak, waartussen de hoek 90 graden. Met de hierboven gepresenteerde materiaal, kunnen we de vergelijking van een vlak vinden loodrecht op de andere. Stel dat we twee vlakken: Ax + By + Cz + D = 0 en + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. We kunnen zeggen dat ze orthogonaal als cos = 0. Dit betekent dat NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

De vergelijking van het daaraan evenwijdige vlak

Het genoemde twee evenwijdige vlakken die geen gemeenschappelijke punten bevatten.

De voorwaarde van parallelle vlakken (de vergelijkingen hetzelfde als in de vorige paragraaf) dat de vectoren N en N¹, die loodrecht daarop zijn collineair. Dit betekent dat de volgende voorwaarden wordt voldaan evenredigheid:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Indien de Verhoudingsgewijs geëxpandeerd - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Dit geeft aan dat de gegevens vlak daarvan. Dit betekent dat vergelijking Ax + By + Cz + D = 0 en + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 beschrijft een vlak.

De afstand van punt tot vliegtuig

Stel dat we een vlak P, dat wordt gegeven door (0). Het is noodzakelijk om de afstand tussen de plaats vinden met coördinaten (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Je moet de vergelijking in het vlak II normaal uiterlijk te maken te brengen:

(Ρ, v) = p (r≥0).

In dit geval ρ (x, y, z) is de straal vector ons punt Q, gelegen aan np - n de lengte van de loodlijn, dat werd vrijgemaakt uit het nulpunt, v - de eenheidsvector die is aangebracht in de richting a.

Het verschil ρ-ρº straalvector van een punt Q = (x, y, z), behorend tot n en de voerstraal van een bepaald punt Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) is een dergelijke vector, de absolute waarde van het uitsteeksel hiervan worden op v gelijk is aan de afstand d, die nodig is om ze uit Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, maar

(Ρ ^ρ-0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Dus het blijkt,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nu is het duidelijk dat voor het berekenen van de afstand d tussen ₀ en Q vlak P, moet versie vlakvergelijking gebruikt, de verschuiving naar links p, en de laatste plaats x, y, z pas (hₒ, uₒ, zₒ).

Zo vinden we de absolute waarde van de resulterende expressieplasmide dat nodig is d.

Met behulp van de parameters van de taal, krijgen we voor de hand liggende:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² V² + + s²).

Als het opgegeven punt Q ₀ is aan de andere zijde van het vlak P als oorsprong, dan tussen de vector ρ ^ρ-0 en v een stompe hoek, dus:

d = - (ρ ^ρ-0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

In het geval dat het punt Q ₀ tezamen met de oorsprong gelegen aan dezelfde zijde van de U, de scherpe hoek ontstaat, dat wil zeggen:

d = (ρ ^ρ-0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Het resultaat is dat in het eerste geval (ρ ^0, v)> p in de tweede (ρ ^0, v)

En het raakvlak vergelijking

Betreffende vlak op het oppervlak in het raakpunt Mº - een vlak met alle mogelijke rakend aan de getrokken door het punt van het oppervlak curve.

Deze oppervlaktevorm van de vergelijking F (x, y, z) = 0 in de vergelijking van het raakvlak raakpunt Mº (hº, uº, zº) zou zijn:

_Fx (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Indien het oppervlak is ingesteld expliciet z = f (x, y), dan is het raakvlak wordt beschreven door de vergelijking:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

De kruising van twee vlakken

In de driedimensionale ruimte is een coördinatensysteem (rechthoekig) OXYZ, gegeven twee vlakken P en P 'die elkaar overlappen en niet samenvallen. Aangezien elk vlak, die in een rechthoekig coördinatenstelsel gedefinieerd door de algemene vergelijking, aangenomen dat n en n "zijn gedefinieerd door de vergelijkingen A'x + V'u S'z + + D '= 0 en A' + B x '+ y met "z + D" = 0. In dit geval hebben we normaal n '(A', B 'C') van het vlak P en het normale n "(A", B "C") van het vlak P '. Aangezien ons vliegtuig niet parallel en niet samenvallen, dan zijn deze vectoren niet collineair. De taal van de wiskunde, hebben we deze voorwaarde kan worden geschreven als: n ≠ n "↔ (A ', B ' C') ≠ (λ * En", λ * In "λ * C"), λεR. Laat de rechte lijn die ligt in het snijpunt P 'en P", wordt aangeduid met de letter a, in dit geval een = P' ∩ P".

en - een lijn bestaande uit een aantal punten (vaak) vlakken P en P". Dit betekent dat de coördinaten van elk punt behorende tot de lijn a, moeten tegelijkertijd voldoen aan de vergelijking A'x + V'u S'z + + D '= 0 en A "x + B + C y" + z D' = 0. Dit betekent dat de coördinaten van het punt een specifieke oplossing van de volgende vergelijkingen zijn:

Het resultaat is dat de oplossing (totaal) van het stelsel van vergelijkingen de coördinaten van elk van de punten op de lijn die optreedt als snijpunt P 'en P" bepaald, en bepaalt een lijn in een coördinatensysteem OXYZ (rechthoekig) ruimte.