Pendulum: tijd en versnelling met formule

Het mechanisch systeem dat bestaat uit een materiaal punt (het lichaam), die hangt aan een ongewogen uitrekbare filament (de massa is verwaarloosbaar ten opzichte van het gewicht van het lichaam) in een uniform zwaartekrachtveld, zogenaamde mathematische slinger (andere naam - de oscillator). Er zijn ook andere soorten apparaten. In plaats van een filament gewichtloosheid staaf kan worden gebruikt. Pendulum is duidelijk te onthullen de essentie van de vele interessante fenomenen. Wanneer kleine amplitude trillingen van zijn beweging harmonische wordt genoemd.

Algemene informatie over het mechanische systeem

De formule van de oscillatieperiode van de slinger werd gekweekt Nederlandse wetenschapper Huygens (1629-1695 gg.). Deze tijdgenoot van Isaac Newton was dol op het mechanische systeem. In 1656 maakte hij het eerste horloge met een slinger mechanisme. Ze maten de tijd met uiterste precisie voor die tijd. Deze uitvinding is een belangrijke stap in de ontwikkeling van fysieke experimenten en praktische activiteiten.

Als de slinger zich in een evenwichtsstand (opknoping verticaal), de zwaartekracht zal worden gecompenseerd door de garenspanning kracht. Flat slinger op een niet-uitrekbare draden is een systeem met twee graden van vrijheid van communicatie. Bij het vervangen van slechts een onderdeel van het veranderen van de kenmerken van al haar onderdelen. Als bijvoorbeeld een draad wordt vervangen door een stang, dan is deze mechanische systeem slechts 1 vrijheidsgraad. Wat is dan de eigenschappen van een wiskundige slinger? In dit eenvoudige systeem, onder invloed van een periodieke storing, chaos weergegeven. In dat geval, wanneer het ophangpunt niet beweegt, en oscilleert een slinger er een nieuwe evenwichtsstand. Indien snelle fluctuaties op en neer deze mechanische systeem stabiel positie "ondersteboven". Het heeft ook zijn naam. Het heet de Kapitza slinger.

De eigenschappen van de slinger

Pendulum heeft zeer interessante eigenschappen. Ieder van hen worden ondersteund door bekende fysische wetten. De periode van oscillatie van de slinger andere afhankelijk van verschillende factoren zoals de grootte en vorm van het lichaam, de afstand tussen het ophangpunt en het zwaartepunt gewichtsverdeling met betrekking tot dit punt. Dat is de reden waarom de definitie van het lichaam opknoping periode is heel uitdagend. Is veel gemakkelijker om de periode van een eenvoudige slinger, waarvan de formule hieronder is weergegeven berekenen. Door het waarnemen van deze patronen kan worden ingesteld op gelijksoortige mechanische systemen:

• Indien, met behoud van dezelfde lengte van de slinger opgehangen aan verschillende belastingen, de periode van de trilling krijgt hetzelfde, hoewel hun gewicht aanzienlijk variëren. Bijgevolg is de periode van de slinger niet afhankelijk van het gewicht van de lading.

• Als het systeem begint te dalen in de slinger is niet al te groot, maar verschillende hoeken, het zal fluctueren met dezelfde periode, maar op verschillende amplitudes. Terwijl afwijkingen van het centrum van de balans is niet al te grote schommelingen in de vorm waarin zij dicht genoeg harmonische zijn. De duur van een dergelijke pendel is niet afhankelijk van de trillingsamplitude. Deze eigenschap van het mechanische systeem heet isochronisme (in het Grieks "chronos" - time "Izosov" - gelijk).

De periode van een eenvoudige slinger

Dit cijfer vertegenwoordigt de natuurlijke periode van oscillatie. Ondanks de complexe samenstelling, de werkwijze zelf is zeer eenvoudig. Als de lengte van het garen mathematische slinger L en de zwaartekrachtversnelling g, deze waarde gelijk:

T = 2π√L / g

Kleine periode van natuurlijke schommelingen op geen enkele wijze is niet afhankelijk van de massa van de slinger en de oscillatie amplitude. In dit geval, als een wiskundige slinger beweegt met lengtematen.

Oscillaties van een wiskundige slinger

Mathematische slinger oscilleert, die kan worden beschreven door een eenvoudige differentiaalvergelijking:

x + ω2 sin x = 0,

waarbij x (t) - onbekende functie (de omslagen hoek van de onderste evenwichtsstand ten tijde t, uitgedrukt in radialen); ω - een positieve constante is die wordt bepaald door de parameters van de slinger (ω = √g / L, waarin g - de versnelling van de zwaartekracht, en L - de lengte van een eenvoudige slinger (suspensie).

Vergelijking kleine oscillaties nabij evenwichtspositie (harmonische vergelijking) als volgt:

x + ω2 sin x = 0

Oscillerende beweging van de slinger

Slinger, welke kleine oscillaties maakt, beweegt sinusoïde. Tweede orde differentiaalvergelijking voldoet aan alle eisen en parameters van een dergelijke beweging. Om het pad dat je nodig hebt om de snelheid en de coördinaten, die later bepaald onafhankelijke constanten te stellen vast te stellen:

x = A sin (θ + ₀ wt),

waarbij θ ₀ - beginfase, A - trillingsamplitude, ω - cyclische frequentie bepaald uit de bewegingsvergelijkingen.

Pendulum (bij grote amplitudes formule)

Deze mechanische systeem, voeren hun trillingen met een grote amplitude, is onderworpen aan meer complexe verkeersregels. ze worden berekend volgens de formule voor dergelijke slinger:

sin x / 2 = u * sn (wt / u)

waarbij sn - sine Jacobi, die de U <1 is een periodieke functie, en voor kleine u het samenvalt met de eenvoudige trigonometrische sinus. De waarde van u wordt bepaald door de volgende uitdrukking:

u = (+ ε ω2) / 2ω2,

waarin ε = E / ML2 (ML2 - De slingerenergie).

Bepaling van niet-lineaire oscillatieperiode van de slinger met de volgende formule:

T = 2π / Ω,

waarbij Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptische integraal, π - 3,14.

de pendelbeweging van de separatrix

Noemde separatrix baan van het dynamische systeem, waarbij een tweedimensionale faseruimte. Slinger beweegt op een niet-periodiek. In de oneindig ver tijdstip daalt vanuit de uiterste bovenste positie naar een snelheid nul, en dan wordt geleidelijk aan. Hij uiteindelijk stopte, terug te keren naar zijn oorspronkelijke positie.

Indien de amplitude van oscillatie van de slinger benadert het getal pi, wordt gezegd dat de beweging in de fase vlak ligt vlakbij het separatrix. In dit geval, onder invloed van een kleine periodieke aandrijfkracht van het mechanische systeem vertoont chaotisch gedrag.

Bij een eenvoudige slinger van de evenwichtssituatie een hoek cp optreedt tangentiaalkracht Fτ -mg = sin φ zwaartekracht. "Min" teken betekent dat de tangentiale component gericht in de tegenovergestelde richting van de richting van de afwijking van de slinger. Wanneer verwezen via pendel verschuiving x langs een cirkelboog met een straal L gelijk is aan de hoekverplaatsing φ = x / L. De tweede wet Isaaka Nyutona, ontworpen voor projectie van de versnellingsvector en sterkte geeft de gewenste waarde:

mg τ = Fτ -mg = sin x / L

Op basis van deze verhouding is het duidelijk dat de slinger een lineair systeem, als een kracht die de neiging heeft om terug te keren naar zijn evenwichtsstand wordt niet steeds evenredig met de verplaatsing x, een sin x / L.

Alleen wanneer het wiskundige slinger kleine vibraties uitvoert, is een harmonische oscillator. Met andere woorden, wordt een mechanisch systeem in staat is om harmonischen. Deze benadering is geldig voor bijna hoeken 15-20 °. Pendulum met grote amplitudes is niet harmonieus.

wet van Newton voor kleine oscillaties van een slinger

Als het mechanische systeem kleine trillingen uitvoert, zal de 2e wet van Newton er als volgt uit:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Op basis hiervan kunnen we concluderen dat de tangentiale versnelling van een eenvoudige slinger is evenredig met de verplaatsing met het teken "min". Dit is een aandoening waarbij het systeem wordt een harmonische oscillator. Module evenredigheidsfactor tussen de verplaatsing en de versnelling gelijk is aan het kwadraat van de hoekfrequentie:

ω02 = g / l; ω0 = √ g / L.

Deze formule geeft de eigenfrequentie van kleine trillingen van dergelijke slinger. Op deze basis,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Berekeningen op basis van de wet van behoud van energie

Eigenschappen oscillerende slinger bewegingen kunnen worden beschreven aan de hand van de wet van behoud van energie. Hierbij moet worden bedacht dat de potentiële energie van de slinger in een zwaartekrachtveld is:

E = mgΔh mgL = (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Volledige mechanische energie is gelijk aan de kinetische en maximale potentieel: Epmax = Ekmsx = E

Nadat u de wet van behoud van energie, het nemen van de afgeleide van de linker- en rechterkant van de vergelijking hebben geschreven:

Ep + Ek = const

Omdat de afgeleide van de constanten gelijk is aan 0, dan (Ep + Ek) = 0. Het derivaat van het bedrag gelijk aan de som van de derivaten:

Ep '= (mg / l * x2 / 2) = mg / 2L * 2 x * x '= mg / l * v + Ek'= (mv2 / 2) = m / 2 (v2) = m / 2 * 2v * v '= mv * α,

daarom:

Mg / l * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Op basis van de laatste formule vinden we: α = - g / L * x.

Praktische toepassing van de mathematische slinger

Versnelling van vrije val varieert met breedte, omdat de dichtheid van de korst rond de planeet niet identiek. Waar rotsen optreden met een hogere dichtheid, het zal iets hoger zijn. Versnelling van de mathematische slinger wordt vaak gebruikt voor exploratie. In haar helpen zoeken naar verschillende mineralen. Gewoon het tellen van het aantal trillingen van een slinger, is het mogelijk om van kolen en erts op te sporen in de ingewanden van de aarde. Dit komt door het feit dat deze middelen hebben een dichtheid en gewicht meer dan het daaronder liggende losse stenen.

Wiskundige slinger gebruikt door prominente geleerden als Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarchus, Archimedes. Velen van hen geloofden dat het mechanische systeem over het lot en het leven kunnen beïnvloeden. Archimedes gebruikt de wiskundige slinger met zijn berekeningen. Tegenwoordig zijn veel occultisten en helderzienden gebruiken deze mechanische systeem voor de tenuitvoerlegging van zijn profetieën, of het zoeken naar vermiste personen.

De beroemde Franse astronoom en wetenschapper, Flammarion voor hun onderzoek ook gebruik gemaakt van een wiskundige slinger. Hij beweerde dat hij met zijn hulp in staat zijn om de ontdekking van een nieuwe planeet, de opkomst van de Tunguska meteoriet, en andere belangrijke gebeurtenissen te voorspellen was hij. Tijdens de Tweede Wereldoorlog in Duitsland (Berlijn) werkte als een gespecialiseerd instituut van de slinger. Tegenwoordig dergelijk onderzoek is niet beschikbaar München Instituut voor Parapsychologie. Zijn werk met de slinger het personeel van deze instelling genaamd "radiesteziey".