Fourier transformatie. Snelle Fourier transformatie. Discrete Fourier Transformatie

De Fourier-transform is een transformatie die associaties functioneert met een bepaalde echte variabele. Deze bewerking wordt uitgevoerd elke keer dat we verschillende geluiden horen. Het oor produceert een automatische 'berekening', die ons bewustzijn alleen maar kan uitvoeren nadat u het bijbehorende gedeelte van de hogere wiskunde hebt bestudeerd. Het menselijke orgel van gehoorconstructen is een transformatie, waardoor het geluid (de vibratiebeweging van geconditioneerde deeltjes in een elastisch medium dat in een golfvorm in een vast, vloeibaar of gasvormig medium verspreidt) wordt verschaft als een spectrum van opeenvolgende niveaus van luidheid van tonen van verschillende hoogten. Daarna verandert de hersenen deze informatie in een bekend geluid.

Wiskundige Fourier Transformatie

De transformatie van geluidsgolven of andere vibratieprocessen (van lichte straling en de oceaanwatertijd en aan cycli van sterren- of zonneactiviteit) kan ook worden uitgevoerd met behulp van wiskundige methoden. Met behulp van deze technieken kunt u de functies uitbreiden door de oscillatieprocessen door een reeks sinusvormige componenten te vertegenwoordigen, dat wil zeggen golfvormige curven die van een minimum naar een maximum overslaan, en dan weer tot een minimum, zoals een zeegolf. De Fourier-transformatie is een transformatie waarvan de functie de fase of amplitude van elke sinusoïde, die overeenkomt met een bepaalde frequentie, beschrijft. De fase is het beginpunt van de kromme, en de amplitude is de hoogte ervan.

De Fourier-transformatie (voorbeelden worden in de foto getoond) is een zeer krachtig instrument dat in verschillende wetenschapsgebieden wordt gebruikt. In sommige gevallen wordt het gebruikt als middel om relatief ingewikkelde vergelijkingen op te lossen die de dynamische processen beschrijven die onder invloed van licht, warmte of elektrische energie optreden. In andere gevallen stelt het ons in staat om de reguliere componenten in complexe vibratiesignalen te bepalen. Hierdoor kunnen verschillende experimentele waarnemingen in chemie, geneeskunde en astronomie correct worden geïnterpreteerd.

Historische achtergrond

De eerste persoon die deze methode toepaste was de Franse wiskundige Jean Baptiste Fourier. De transformatie, die later werd genoemd, werd oorspronkelijk gebruikt om het mechanisme van thermische geleidbaarheid te beschrijven. Fourier bracht zijn hele volwassen leven door de eigenschappen van hitte. Hij heeft een grote bijdrage geleverd aan de wiskundige theorie om de wortels van algebraïsche vergelijkingen te bepalen. Fourier was professor van analyse aan de Polytechnische School, secretaris van het Instituut voor Egyptologie, was aan de keizerlijke dienst, die zich onderscheidt tijdens de bouw van de weg naar Turijn (onder zijn leiding was meer dan 80 duizend vierkante kilometer malaria moerassen gedreineerd). Deze actieve activiteit heeft echter niet voorkomen dat de wetenschapper wiskundige analyse doet. In 1802 ontleende hij een vergelijking die de vermeerdering van warmte in vaste stoffen omschrijft. In 1807 ontdekte de wetenschapper een methode om deze vergelijking op te lossen, die de "Fourier-transformatie" werd genoemd.

Warmte-geleidbaarheidsanalyse

De wetenschapper gebruikte een wiskundige methode om het mechanisme van thermische geleidbaarheid te beschrijven. Een handig voorbeeld, waarin er geen moeilijkheden met berekening zijn, is de voortplanting van thermische energie langs een ijzeren ring die door een deel in een vuur wordt gedompeld. Om de experimenten uit te voeren, verhit Fourier het rode gedeelte van deze ring en begraven het in fijn zand. Daarna meet hij de temperatuur aan de andere kant ervan. In eerste instantie is de warmteverdeling onregelmatig: een deel van de ring is koud en de andere is heet, er kan een scherpe temperatuurgradiënt tussen deze zones worden waargenomen. In het proces van warmtevermeerdering over het gehele oppervlak van het metaal wordt het echter meer uniform. Dus binnenkort gaat dit proces in de vorm van een sinusoid. In eerste instantie neemt de grafiek geleidelijk toe en verliest hij ook vlot, precies volgens de wetten van de verandering in de cosinus of sinusfunctie. De golf wordt geleidelijk afgevlakt en als gevolg hiervan wordt de temperatuur gelijk over het gehele oppervlak van de ring.

De auteur van deze methode suggereerde dat de initiële onregelmatige verdeling volledig kan worden afgebroken in een reeks elementaire sinusoïden. Elk van hen heeft zijn eigen fase (beginpositie) en zijn eigen temperatuur maximale. In dit geval verandert elke dergelijke component van een minimum tot een maximum en terug op een volledige omwenteling rond de ring een geheel getal keer. Een component met een periode heet de basis harmonische, en een waarde met twee of meer perioden is de tweede en zo verder. Dus de wiskundige functie die het temperatuur maximum, fase of positie beschrijft heet de Fourier transform van de distributie functie. De wetenschapper verminderde de enkele component, die moeilijk te wiskundig is beschreven, naar een hulpmiddel dat makkelijk te gebruiken is - cosine en sinusrijen, die samen de eerste verdeling geven.

De essentie van de analyse

Toepassing van deze analyse op de transformatie van warmtevermeerdering door een stevig voorwerp met een ringvormige vorm, beoordeelde de wiskundige dat het verhogen van de perioden van de sinusvormige component zou leiden tot het snelle verval ervan. Dit is goed opgespoord op de fundamentele en tweede harmonica. In de laatstgenoemde bereikt de temperatuur de maximale en minimumwaarden twee keer in één pas, en in de eerste één slechts één keer. Het blijkt dat de afstand die wordt overwonnen door de hitte in de tweede harmonische de helft zal zijn van de belangrijkste. Bovendien is de gradiënt in de tweede ook tweemaal steiler dan de eerste. Doordat een meer intense warmte stroomt de breedste afstand, dan komt de gegeven harmonische afname vier keer sneller dan het fundamentele, als een functie van de tijd. In het volgende zal dit proces nog sneller plaatsvinden. De wiskundige geloofde dat deze methode ons in staat stelt het proces van de initiële temperatuurverdeling over de tijd te berekenen.

Uitdaging tegen tijdgenoten

Het Fourier transform algoritme werd een uitdaging voor de theoretische grondslagen van wiskunde van die tijd. In het begin van de negentiende eeuw aanvaardden de meest uitstekende wetenschappers, waaronder Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre en Bio, zijn bewering dat de initiële temperatuurverdeling in fundamentele componenten en hogere frequenties ontleedt. De Academie van Wetenschappen zou echter niet de resultaten van de wiskundige kunnen negeren en hem een prijs toegekend voor de theorie van warmtegeleidingswetten, evenals vergelijken met fysieke experimenten. In de Fourier-aanpak was het belangrijkste bezwaar veroorzaakt door het feit dat de discontinuous functie wordt vertegenwoordigd door de som van meerdere sinusvormige functies die continu zijn. Immers, zij beschrijven het breken van rechte en gebogen lijnen. Tijdgenoten van de wetenschapper hebben nooit een soortgelijke situatie geconfronteerd, wanneer de discontinue functies werden beschreven door een combinatie van ononderbroken, zoals een kwadratische, lineaire, sinusvormige of exponentiële. In het geval dat de wiskundige recht had in zijn uitspraken, moet de som van een oneindige serie trigonometrische functie worden verlaagd tot een exacte stap. Op dat moment lijkt een dergelijke verklaring absurd. Ondanks de twijfels, hebben sommige onderzoekers (bijvoorbeeld Claude Navier, Sophie Germain) de reikwijdte van onderzoek uitgebreid en verplaatst ze verder dan de analyse van de distributie van thermische energie. En wiskundigen ondertussen lijden onder de vraag of de som van meerdere sinusvormige functies kan worden teruggebracht tot een exacte weergave van een discontinue.

200 jaar geschiedenis

Deze theorie is in de loop van twee eeuwen ontwikkeld, vandaag is het eindelijk gevormd. Met zijn hulp zijn ruimtelijke of temporale functies verdeeld in sinusvormige componenten, die hun eigen frequentie, fase en amplitude hebben. Deze transformatie wordt verkregen door twee verschillende wiskundige methoden. De eerste van hen wordt toegepast wanneer de initiële functie continu is en de tweede - in het geval dat het wordt vertegenwoordigd door een reeks afzonderlijke individuele veranderingen. Als de uitdrukking wordt verkregen uit waarden die door discrete intervallen worden bepaald, kan het in verschillende sinusformale expressies worden verdeeld met discrete frequenties - van de laagste frequentie en dan twee keer, drie keer, enzovoort, hoger dan de fundamentele. Dit bedrag wordt meestal de Fourier-serie genoemd. Als de eerste uitdrukking wordt gegeven door een waarde voor elk echt getal, dan kan het worden afgebroken in verschillende sinusvormige alle mogelijke frequenties. Het wordt meestal de Fourier-integraal genoemd, en de oplossing impliceert de integrale transformaties van de functie. Ongeacht de methode van het verkrijgen van de transformatie, moeten twee cijfers worden opgegeven voor elke frequentie: amplitude en frequentie. Deze waarden worden uitgedrukt als een enkel complex getal. De theorie van de uitdrukkingen van complexe variabelen in combinatie met de Fourier-transformatie liet ons toe om berekeningen uit te voeren voor de bouw van diverse elektrische circuits, de analyse van mechanische oscillaties, de studie van het mechanisme van voortplanting van golven, enzovoort.

Fourier transformatie vandaag

Tegenwoordig vermindert de studie van dit proces in principe effectieve overgangsmetoden van een functie naar de getransformeerde vorm en terug. Deze oplossing heet de directe en omgekeerde Fourier-transform. Wat betekent dit? Om het integraal te bepalen en een directe Fourier-transformatie uit te voeren, kan men wiskundige methoden gebruiken, of zelfs analytische. Ondanks het feit dat bij het gebruik ervan in de praktijk bepaalde moeilijkheden zijn, zijn de meeste integralen al gevonden en opgenomen in de wiskundige referentieboeken. Met behulp van numerieke methoden is het mogelijk om uitdrukkingen te berekenen, waarvan de vorm gebaseerd is op experimentele data of functies waarvan de integrale afwezig zijn in de tabellen en moeilijk te presenteren zijn in analytische vorm.

Voor de komst van computertechnologie waren de berekeningen van dergelijke transformaties erg vervelend, ze vereisen de handmatige uitvoering van een groot aantal rekenkundige operaties, die afhankelijk zijn van het aantal punten die de golffunctie beschrijven. Om de berekeningen te vergemakkelijken, zijn er vandaag speciale programma's die de implementatie van nieuwe analysemethoden hebben toegestaan . Zo, in 1965 creëerde James Cooley en John Tewki software die bekend werd als de "snelle Fourier-transformatie". Het maakt het mogelijk om tijd te besparen op het uitvoeren van berekeningen door het verminderen van het aantal vermenigvuldigingen bij de analyse van een curve. De "snelle Fourier transform" methode is gebaseerd op het verdelen van de curve in een groot aantal uniforme monsterwaarden. Bijgevolg wordt het aantal vermenigvuldigingen gehalveerd met dezelfde afname van het aantal punten.

Toepassing van de Fourier-transformatie

Dit proces wordt gebruikt in verschillende wetenschapsgebieden: in numerieke theorie, fysica, signaalverwerking, combinatoriek, waarschijnlijkheidsteorie, cryptografie, statistiek, oceanologie, optica, akoestiek, geometrie en andere. De rijke mogelijkheden van de toepassing zijn gebaseerd op een aantal bruikbare functies, die "eigenschappen van de Fourier-transformatie" genoemd worden. Overweeg hen.

1. De transformatie van een functie is een lineaire operator en met een bijbehorende normalisatie is een eenheid. Deze eigenschap staat bekend als de Parseval theorem, of in het algemeen de Plancherel theorem, of het Pontryagin dualisme.

2. De transformatie is omkeerbaar. En het omgekeerde resultaat heeft bijna dezelfde vorm, evenals een directe oplossing.

3. Sinusvormige basisuitdrukkingen zijn eigenfuncties. Dit betekent dat een dergelijke weergave lineaire vergelijkingen wijzigt met een constante coëfficiënt in gewone algebraïsche vergelijkingen .

4. Volgens de "convolution" stelling transformeert dit proces een complexe operatie in elementaire vermenigvuldiging.

5. De discrete Fourier transform kan snel worden berekend op een computer met behulp van de "snelle" methode.

Variëteiten van de Fourier Transform

1. Meestal wordt deze term gebruikt om een continue transformatie aan te geven die elke kwadratische integreerbare expressie geeft als een som van complexe exponentiële expressies met specifieke hoekfrequenties en amplitudes. Deze soort heeft verschillende vormen, die in constante coëfficiënten kunnen verschillen. Een continue methode bevat een conversietabel, die te vinden is in wiskundige referentieboeken. Een genummerde zaak is een fractionele transformatie, waarmee het gegeven proces kan worden verhoogd tot de nodige echte kracht.

2. Een continue methode is een generalisatie van de vroege techniek van Fourier-serie die is gedefinieerd voor verschillende periodieke functies of uitdrukkingen die in een begrensd domein bestaan en die als een serie sinusoïden vertegenwoordigen.

3. Discrete Fourier transformatie. Deze methode wordt gebruikt in computertechnologie voor wetenschappelijke berekeningen en voor digitale signaalverwerking. Voor het uitvoeren van dit soort berekeningen is het nodig om functies te hebben die op een afzonderlijk aantal afzonderlijke punten, periodieke of begrensde domeinen bepalen in plaats van continue Fourier-integralen. De signaalomzetting in dit geval wordt weergegeven als de som van de sinusoïden. In dit geval stelt het gebruik van de "snelle" methode ons in staat om discrete oplossingen toe te passen voor alle praktische taken.

4. De windowed Fourier transform is een algemene vorm van de klassieke methode. In tegenstelling tot de standaardoplossing, wanneer het signaalspectrum wordt gebruikt, dat in het volledige bestaansbereik van een bepaalde variabele wordt gebruikt, is de lokale frequentieverdeling alleen van bijzonder belang als de initiële variabele (tijd) behouden blijft.

5. Tweedimensionale Fourier transformatie. Deze methode wordt gebruikt om met tweedimensionale datasets te werken. In dit geval wordt eerst de transformatie in één richting gedaan en vervolgens in de andere.

conclusie

Vandaag is de Fourier-methode stevig verankerd in verschillende wetenschapsgebieden. In 1962 werd bijvoorbeeld de vorm van een dubbele DNA-helix ontdekt met behulp van Fourier-analyse in combinatie met röntgendiffractie. De laatste waren gericht op kristallen van DNA-vezels, waardoor het beeld verkregen tijdens de diffractie van straling op de film werd bevestigd. Deze foto gaf informatie over de waarde van de amplitude bij gebruik van de Fourier-transformatie naar de gegeven kristalstructuur. Gegevens over de fase werden verkregen door de diffractiekaart van DNA te vergelijken met de kaarten verkregen bij het analyseren van vergelijkbare chemische structuren. Als gevolg daarvan hebben biologen de kristalstructuur hersteld - de oorspronkelijke functie.

Fourier transformaties spelen een grote rol in de studie van de buitenruimte, de fysica van halfgeleidermaterialen en plasma, microgolfakustiek, oceanografie, radar, seismologie en medische enquêtes.