De som van de hoeken van een driehoek. De stelling van de som van de hoeken van een driehoek

De driehoek is een veelhoek met drie zijden (drie hoeken). Meestal, het deel aangeduid door kleine letters van hoofdletters, die tegenover hoekpunten representeren. In dit artikel nemen we een kijkje nemen op dit soort van geometrische vormen, stelling, die bepaalt wat gelijk is aan de som van de hoeken van een driehoek is.

Types grootste hoeken

De volgende typen veelhoek met drie toppen:

• scherphoekige, waarbij alle hoeken scherp;
• rechthoekig met een rechte hoek, de kant die deze vormt, berekend op de benen en de zijde die tegengesteld is gelegen aan de rechte hoek van de schuine zijde genoemd;
• stompe wanneer een hoek stomp ;
• gelijkbenige, waarvan de beide zijden gelijk zijn, en worden lateraal genoemd, en de derde - een driehoek met een basis;
• gelijkzijdige met drie gelijke zijden.

eigenschappen

Verdeel de basiseigenschappen die kenmerkend elk type driehoek:

• tegenover de grootste zijde steeds grotere hoek, en vice versa;
• zijn gelijke hoeken tegenover de gelijke grootste partij en vice versa;
• in een driehoek twee scherpe hoeken;
• buitenhoek groter zijn dan de binnenhoek niet grenzend daaraan;
• de som van twee hoeken altijd kleiner dan 180 graden;
• buitenhoek gelijk aan de som van de andere twee hoeken die niet mezhuyut mee.

De stelling van de som van de hoeken van een driehoek

De stelling luidt dat als je optelt alle hoeken van de geometrische vorm, dat is gevestigd in het Euclidische vliegtuig, dan is hun som 180 graden. Laten we proberen om deze stelling te bewijzen.

Laten we hebben een willekeurige driehoek met hoekpunten KMN. Boven aan M houdt rechtstreeks parallel met de lijn KN (ook deze lijn werd aangeduid Euclid). Opgemerkt punt A zodat de punten K en A worden aangebracht vanuit verschillende zijden van de MN. We krijgen dezelfde hoek van AMS en MUF, die evenals het interieur, liggen dwars vormen snijdende MN tezamen met directe CN en MA, die evenwijdig zijn. Hieruit volgt dat de som van de hoeken van de driehoek, gelegen op de hoekpunten van M en N is gelijk aan de omvang van de CMA hoek. Alle drie hoeken bestaan uit een bedrag gelijk aan de som van de hoeken van KMA en MCS. Aangezien de gegevens interne hoeken ten sided evenwijdige lijnen CL CM MA snijdende hun som 180 graden. Dit bewijst de stelling.

resultaat

Van de bovengenoemde bovengenoemde stelling houdt in onderstaande Gevolg: elke driehoek twee scherpe hoeken. Om dit te bewijzen, laten we aannemen dat dit geometrische figuur heeft maar één scherpe hoek. U kunt ook aannemen dat geen van de hoeken zijn niet scherp. In dit geval moet ten minste twee hoeken, waarvan de omvang gelijk aan of groter dan 90 graden is. Maar dan is de som van de hoeken groter dan 180 graden. Maar dit kan niet, zoals volgens de stelling som hoeken van een driehoek is gelijk aan 180 ° - niet meer en niet minder. Dat is wat bewezen moest worden.

Property buitenhoeken

Wat is de som van de hoeken van een driehoek, die extern zijn? Het antwoord op deze vraag kan worden verkregen door een van twee manieren. De eerste is dat je nodig hebt om de som van de hoeken, die worden genomen één bij elke top, dat wil zeggen, drie hoeken vinden. De tweede houdt in dat je nodig hebt om de som van de zes invalshoeken te vinden op de hoekpunten. Om rekening te houden met het begin van de eerste uitvoering. Dus de driehoek bevat zes buitenhoeken - bovenaan elk van de twee. Elk paar heeft gelijke hoeken onderling, omdat ze verticaal:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Bovendien is het bekend dat de buitenste hoek van de driehoek is gelijk aan de som van de twee inwendige, die niet mezhuyutsya mee. daarom,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Hieruit blijkt dat de som van de buitenhoeken, welke worden bezet door een nabij elk hoekpunt gelijk zijn:

∟1 ∟2 + + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Aangezien de som van de hoeken gelijk aan 180 °, kan worden gesteld dat ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Dit betekent dat ∟1 + + ∟2 ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Wanneer de tweede optie wordt gebruikt, wordt de som van de zes hoeken overeenkomstig groter twee keer. De som van de hoeken van een driehoek buiten zijn:

∟1 ∟2 + + + ∟3 ∟4 + + ∟5 ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 ∟2 +) = 720 °.

rechthoekige driehoek

Wat gelijk is aan de som van de hoeken van een rechthoekige driehoek is, is het eiland? Het antwoord is, opnieuw, van Stelling, die stelt dat de hoeken van een driehoek op tot 180 graden. Een geluid onze bewering (eigendom) als volgt: in een rechthoekige driehoek scherpe hoeken oplopen tot 90 graden. We bewijzen de geloofwaardigheid ervan. Er zij gegeven driehoek KMN die ∟N = 90 °. Er dient te bewijzen dat ∟K ∟M = + 90 °.

Dus, volgens de stelling van de som van de hoeken ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. In deze toestand wordt gezegd dat ∟N = 90 °. Het blijkt ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Dat wil ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Dat is wat we zouden moeten bewijzen.

In aanvulling op het bovenstaande eigenschappen van een rechthoekige driehoek, kunt u deze toe te voegen:

• hoeken, die tegen de poten liggen scherp;
• de hypotenusa van de driehoek groter dan elk van de benen;
• de som van de benen meer dan de hypotenusa;
• been van de driehoek, die tegenover ligt aan de hoek van 30 graden, de helft van de schuine zijde, die gelijk is aan de helft.

Als een andere eigenschap van de geometrische vorm kan worden onderscheiden Pythagoras. Ze stelt dat een driehoek met een hoek van 90 graden (rechthoekig), de som van de kwadraten van de benen gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa.

De som van de hoeken van een gelijkbenige driehoek

Eerder hebben we dat een gelijkbenige driehoek is een veelhoek met drie toppen, die twee gelijke zijden. Deze eigenschap is bekend geometrisch cijfer: de hoeken aan de basis gelijk. Laten we dit te bewijzen.

Neem de driehoek KMN, die gelijkbenige, SC - de basis. We zijn verplicht om dat ∟K = ∟N bewijzen. Dus, laten we aannemen dat MA - KMN is de bissectrice van onze driehoek. ICA driehoek met de eerste tekenen van gelijkheid driehoek MNA. Namelijk door hypothese omdat CM = NM, MA is een gemeenschappelijke zijde, ∟1 = ∟2, omdat MA - deze bissectrice. Met behulp van de gelijkheid van de twee driehoeken, zou men kunnen stellen dat ∟K = ∟N. Daarom is de stelling bewezen.

Maar we zijn geïnteresseerd in, wat is dan de som van de hoeken van een driehoek (gelijkbenige). Omdat in dit opzicht het niet de mogelijkheden ervan hebben, zullen we uitgaan van de stelling eerder besproken. Dat wil zeggen, we kunnen zeggen dat ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° of 2 x ∟K ∟M = + 180 ° (om ∟K = ∟N). Dit zal het pand niet bewijzen, zoals de stelling op de som van de hoeken van een driehoek eerder bewezen.

Behalve de beschouwde eigenschappen van de hoeken van een driehoek, zijn er ook zulke belangrijke verklaringen:

• in een gelijkzijdige driehoek hoogte, die was verlaagd tot de basis, is tegelijkertijd de mediaan bissectrice van de hoek die tussen de gelijke zijden en de symmetrieas van de basis;
• mediaan (bisector, hoogte), die worden gehouden op de zijden van een geometrische figuur, gelijk.

gelijkzijdige driehoek

Het is ook het recht genoemd, is de driehoek, die gelijk is voor alle partijen. En dus ook gelijk en hoeken. Elk van hen is 60 graden. Laten we deze eigenschap te bewijzen.

Laten we aannemen dat we een driehoek KMN. We weten dat KM = HM = KH. Dit betekent dat volgens de eigenschap van de hoeken aan de onderkant in een gelijkzijdige driehoek ∟K = ∟M = ∟N. Aangezien volgens de som van de hoeken van een driehoek stelling ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, dan is x 3 = 180 ° ∟K of ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Zo wordt de bewering bewezen. Zoals blijkt uit de bovenstaande gegevens op basis van bovenstaande stelling, de som van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek, als de som van de hoeken van elke andere driehoek is 180 graden. Opnieuw bewijst deze stelling is niet nodig.

Er zijn nog enkele karakteristieke eigenschappen van een gelijkzijdige driehoek:

• mediane bissectrice hoogte in een geometrisch cijfer gelijk en de lengte wordt berekend als (a x √3): 2;
• indien veelhoek omschrijft de cirkel, dan zal de straal gelijk is aan (a x √3) zijn: 3;
• Als ingeschreven in een cirkel gelijkzijdige driehoek, zou de radius (ax √3) zijn: 6;
• gebied van de geometrische figuur wordt berekend met de formule: (a2 x √3): 4.

obtuse driehoek

Per definitie is een stomphoekige driehoek, een van de hoeken tussen 90-180 graden. Maar gezien het feit dat de twee andere hoeken van de geometrische vorm scherp kan worden geconcludeerd dat zij niet meer dan 90 graden. Daarom is de som van de hoeken van een driehoek stelling werkt in de som van de hoeken in een stompe driehoek. Dus, kunnen we gerust zeggen, gebaseerd op de bovenstaande stelling dat de som van de stompe hoeken van een driehoek is 180 graden. Nogmaals, deze stelling niet opnieuw moet bewijzen.