Wat is een vierkant? Zo vindt hoekpunten doorsnedevlak vergelijking volume voetafdruk van een vierkante hoek?

Antwoorden op de vraag over wat is het plein, kan worden ingesteld. Het hangt allemaal af van aan wie u dit probleem hebben aangepakt. De muzikant zegt dat het plein - een 4, 8, 16, 32 bars of jazz improvisatie. Het kind - het is een spel met een bal of tijdschrift voor kinderen. De printer stuurt je de lettergrootte en apparatuur te bestuderen - metal-profiel soorten.

Er zijn vele andere waarden in dit woord, maar vandaag zullen we een vraag van de wiskunde vragen. So ...

Deal met dit cijfer, zullen we geleidelijk, van eenvoudig tot complex, en beginnen met de geschiedenis van het plein. Toen hij verscheen, zoals waargenomen door mensen, wetenschappers uit verschillende landen en culturen?

De geschiedenis van de studie van het plein

Oude wereld ziet het plein, vooral als de vier windstreken. In het algemeen, ondanks de vele quads, net op het centrale plein van het nummer - vier. Voor de Assyriërs en de Peruaanse plein - de hele wereld, dat wil zeggen, het vertegenwoordigt de vier hoofdrichtingen van het kompas.

Zelfs het universum is als een vierkant, ook verdeeld in vier delen - de visie van Noord-Amerika. Voor de Kelten, het universum - het is zo veel als drie vierkante, genesteld, en van het centrum van de vier rivieren stromen (!). En alle Egyptenaren aanbaden deze figuur!

Eerst beschreven door wiskundige formules vierkante Grieken. Maar voor hen is dit polygoon heeft slechts negatieve eigenschappen. Pythagoras hield niet even nummers, zien ze als zwak en vrouwelijk.

Zelfs religies huidige plein. In Islam Kaaba - de navel van de aarde - is niet een bolvormig, namelijk een kubusvorm.

In India, de belangrijkste grafeem vertegenwoordigen aarde, of de aarde symbool, werd herdoopt plein. Nogmaals, we hebben het over de vier windstreken, de vier regio's van de aarde.

In China, het plein - een wereld harmonie en orde. Chaos wordt overwonnen gebouw vierkante Vary. Een vierkant ingeschreven in een cirkel, is de basis van het zien van de wereld, het symbool van de eenheid en samenhang van de kosmos en de Aarde.

Pagan Rusland - Plein Svarog. Dit symbool wordt ook wel Svarog ster of ster van Rusland. Het is vrij ingewikkeld, als dat bestaat uit elkaar kruisende en gesloten lijnen. Svarog - god van smeden, de belangrijkste initiatiefnemer, de schepper en de lucht zelf in de presentatie van de Rus. Dit symbool is een ruit, die opnieuw spreekt van de aarde en de vier richtingen. En de ster met vier stralen - 4 hoeken van de aarde, Lika Svaroga 4 - zijn alwetendheid. Een straal kruising - center.

Interessante feiten over het plein

De meest populaire uitdrukking dat opkomt van onze protagonist - "Black Square".

foto Malevich is nog steeds erg populair. De auteur na de oprichting hebben lang geleden de vraag wat het is en waarom een eenvoudige zwarte vierkant op een witte achtergrond, zodat vestigt de aandacht op zich.

Maar als je een kijkje nauw te nemen, zult u merken dat het vierkant vliegtuig is niet glad, en in de spleten van de zwarte inkt is een set van multi-gekleurde tinten. Blijkbaar, in het begin was er een zekere samenstelling, waarin de auteur niet leuk, en hij sloot het van onze ogen voor dit cijfer. Zwart vierkant als iets - een zwart gat, alleen de magische vierkant vorm. Een vide is bekend te trekken ...

Een andere zeer populaire "magische vierkanten". In feite is - een tafel uiteraard het vierkant gevuld met de getallen in elke kolom. De som van deze getallen is hetzelfde voor alle rijen, kolommen en diagonalen (apart). Indien de diagonalen worden geëlimineerd uit de vergelijking, het kwadraat - semimagic.

Albrecht Dürer in 1514 creëerde het schilderij "Melancholia I", waarin een 4x4 magisch vierkant afgebeeld. Samengevat van het aantal kolommen, rijen, diagonalen, en zelfs de binnenste plein is vierendertig.

Op basis van deze tabellen waren erg interessant en populair puzzel - "Sudoku".

De Egyptenaren waren de eerste interconnectie lijnnummer (geboortedatum) en karaktereigenschappen, vaardigheden en talenten van de persoon uit te voeren. Pythagoras nam deze kennis, op een paar verwerkt en geplaatst op het plein. Het resultaat was een vierkant van Pythagoras.

Het heeft een aparte ruimte in de numerologie. Vanaf de datum van geboorte van een persoon berekenen door het toevoegen van de vier belangrijkste nummers die in Pythagoras Square (vierkant) zijn geplaatst. En legde alles uit de verborgen informatie over uw energie, gezondheid, talent, geluk, temperament en andere dingen op de planken. Gemiddeld is de nauwkeurigheid van de enquêtes is 60% -80%.

Wat is een vierkant?

Plein genaamd de geometrische figuur. Square shape - vierhoek, die gelijke zijden en hoeken heeft. Meer in het bijzonder, de vierhoek juiste genoemd.

Het plein heeft zijn borden. Ze zijn:

• zijden van gelijke lengte;
• gelijke hoeken onderling - rechte (90 graden).

Vanwege deze kenmerken en eigenschappen van het kwadraat cirkel kan worden ingeschreven, en beschrijven om hem heen. De omgeschreven cirkel raakt aan elk van zijn hoekpunten ingeschreven - het midden van de zijden. Hun focus zal samenvallen met het midden van het plein en zal al zijn diagonaal door midden te delen. Deze op hun beurt gelijk en verdeel de hoeken van het vierkant in gelijke delen.

Een diagonaal verdeelt het vierkant in twee gelijkbenige driehoeken, twee - vier.

Indien dus de lengte van de zijden van een vierkant - t, de lengte van de straal van de omgeschreven cirkel - R, en een ingeschreven - r, dan

• een vierkant grondvlak of vierkant oppervlak (S) gelijk is aan S = ^t2 = 2R ² = 4r ^2;

• een vierkante omtrek P wordt berekend door de formule P = 4t = 4√2R = 8r;

• de lengte van de straal van de cirkel R = (√2 / 2) t;

• ingeschreven - r = t / 2.

Een vierkant grondvlak nog te berekenen wetenschap zijn kant (a) of de lengte van de diagonaal (c), dan zal de formule in respectievelijk: S = ^a2 en S = ^{1/2 2c.}

Wat is het plein, we zijn gevonden. Laten we eens een kijkje op de details, omdat de figuur van het plein is de symmetrische rechthoek. Hij heeft vijf symmetrieassen, met een (vierde orde) door het midden en loodrecht op het vlak van het vierkant, en vier andere - tweevoudige symmetrieas, waarvan er twee evenwijdig aan de zijkanten en twee passeren de diagonaal van het vierkant.

Werkwijzen voor het construeren van een vierkant

Op basis van de definitie, het lijkt erop dat er niets makkelijker dan naar een perfect vierkant te bouwen. Dat is waar, maar op voorwaarde dat u over alle meetinstrumenten het. En als er iets niet beschikbaar is?

Laten we eens kijken naar de bestaande methoden, die ons zal helpen om dit cijfer op te bouwen.

Het meten van liniaal en staan recht - dat zijn de belangrijkste instrumenten waarmee u het gemakkelijkst een vierkant te bouwen.

Op het eerste, markeert het punt, zeg A, zullen we voortbouwen op het een vierkante basis.

Behulp van een liniaal, afgezien van het naar rechts over een afstand gelijk aan de lengte van de zijde, bijvoorbeeld 30 mm, en stel het punt B.

Nu, vanuit de twee punten, met behulp van gon loodlijnen omhoog vegen aan elke 30 mm. Aan de uiteinden van de loodlijnen instelpunten C en D, die zijn verbonden met elkaar met een liniaal - alle vierkant ABCD met de zijde 30 mm klaar!

Met behulp van een liniaal en gradenboog is ook heel gemakkelijk om een vierkant te construeren. Starten, zoals in het voorgaande geval wat bijvoorbeeld N, naast de horizontale interval, bijvoorbeeld 50 mm. Zet het punt O.

Nu het midden van de gradenboog te verbinden met het punt H het selectievakje in de hoek ⁰ 90 daardoorheen en een punt H build verticale segment 50 mm aan zijn uiteinde met een punt P. Verder is op deze wijze opbouwen van de derde segment van het punt O een hoek van 90 ⁰ 50 mm, laat het eindpunt P. Verbind de punten R en R. u ingeschakelde OGMF plein met een kant lengte van 50 mm.

Het is mogelijk om een vierkant te construeren met alleen kompas en liniaal. Als u belangrijke grootte van het plein en staat bekend om de lengte van de zijde, zal het meer en rekenmachine nodig hebben.

Dus, zet de eerste punt E - dit zal het zijn van de hoekpunten van het plein. Vervolgens selecteert u de locatie waar het zal worden gevestigd tegenover vertex F, dus wacht diagonaal EGEL je figuur. Als een vierkant groot, met de lengte van de zijde bouwen Bereken de lengte van de diagonaal van de formule:

d = √2 * a, waarbij a - zijlengte.

Zodra u de lengte van de diagonale lengte van de egel weten op te bouwen deze waarde. Van punt E met een dikte in de richting van punt F teken een halve cirkel met een straal hedgehog. Integendeel, vanuit het punt F - halve cirkel naar het punt E, dezelfde straal. Door het snijpunt van deze halve cirkels, met een liniaal, teken een segment link. Egel en GI kruisen onder rechte hoeken en diagonalen zijn de toekomst van een vierkant. Verbind de stippen UOM, IL, ZHZ en WE met een liniaal, ontvangt u een ingeschreven vierkant EIZHZ ontvangen.

Het is nog steeds mogelijk om een vierkante construct met één lijn. Wat is een vierkant? Dit vlakke gedeelte begrensd door elkaar snijdende segmenten (lijnen stralen). Daarom kunnen we een vierkant op de coördinaten van de hoekpunten construeren. Eerste verstrekken assen. Kant van het plein kan liggen op hen, of het snijpunt van de diagonalen van het middelpunt samenvalt met het punt van oorsprong - het hangt af van uw wens of probleem omstandigheden. Misschien uw figuur wordt op afstand van de as op een bepaalde afstand. In elk geval is het eerste teken van numerieke waarden (willekeurig of voorwaardelijk), de twee punten, dan zal bekend zijlengte van een vierkant. We kunnen berekenen van de coördinaten van de overige twee hoekpunten, herinneren dat de zijden van het vierkant gelijk zijn aan elkaar evenwijdig. De laatste stap - sluit alle punten in serie met elkaar met een liniaal.

Wat zijn de pleinen?

Square - een figuur welomschreven en strikt beperkt hun definities, zodat de soorten velden niet verschillen diversiteit.

Het plein Euclidische meetkunde is breder gezien - een vierhoek met gelijke zijden en hoeken, maar de mate van de hoeken is niet gespecificeerd. Dit betekent dat de hoeken kan 120 graden ( "convex" vierkant) en, bijvoorbeeld, 72 graden ( "concaaf" square).

Als je vraagt wat is het plein in geometrie of science, zullen ze je vertellen dat - het is een volledige of vlakke grafiek (kolommen K ₁ tot en met _K-4). En het is absoluut waar. De telling heeft hoekpunten en randen. Als ze opstaan in de geordende paar, vormen een grafiek. Het aantal hoekpunten - dit is de volgorde van de grafiek, het aantal randen - het volume. Dus het kwadraat - een vlakke grafiek met vier hoekpunten en zes kanten of K _4: 6.

zijde van het vierkant

Een van de belangrijkste voorwaarden voor het bestaan van het vierkant - de aanwezigheid van gelijke lengte zijden - maak de zijkant van groot belang voor diverse berekeningen. Maar tegelijkertijd biedt vele mogelijkheden om het vierkant zijlengte berekend in aanwezigheid van diverse brongegevens.

Dus, hoe de waarde van het plein te vinden?

• Als alleen de lengte van de diagonaal van het vierkant d kent, dan kan de richting van de volgende formule berekend: a = d / √2.
• De diameter van de ingeschreven cirkel is de rand van het vierkant en dus tweemaal de straal, dat is: a = D = 2R.
• De straal van de cirkel kan ook helpen achterhalen wat de zijde van het vierkant. We kunnen de radius R voorbeeld een diameter D, die op zijn beurt gelijk aan de diagonaal van een vierkant d is en de formule voor de diagonaal van het vierkant door middel bekend: a = D / √2 = d / √2 = 2R / √2.
• Uit de gelijke impliceert die kant leert van een vierkant (a) kan door middel van zijn omtrek P en S gebied: a = √S = P / 4.
• Als we de lengte van de lijn die van de hoek van het vierkant en kruist het midden van de aangrenzende zijde C kennen, de Amerikaanse ook kunnen weten wat de lengte van de zijde van het vierkant: a = 2C / √5.

Dat is hoeveel manieren er zijn om zo'n belangrijke parameter als de lengte van het plein te zien.

volume square

De term zelf is absurd. Wat is een vierkant? Dit is een vlakke figuur slechts twee parameters - de lengte en breedte. En het volume? Dit is een kwantitatieve karakterisering van de ruimte bezet door het object, dat wil zeggen, het kan alleen worden berekend volume organen.

Rondom het lichaam, waarvan alle zijden zijn vierkantjes - de kubus. Ondanks de enorme en fundamentele verschil, studenten vaak proberen om het volume van een vierkant te berekenen. Als het iemand lukt, wordt de Nobelprijs verstrekt.

En het vinden van de inhoud van een kubus V, kan worden volstaan met drie van zijn ribben vermenigvuldigen - a, b, c: V = a * b * c. En omdat ze per definitie gelijk zijn, kan de formule afwijken: V = ^3.

Waarden onderdelen en eigenschappen

Het plein, alsmede veelhoek, is de top - dit is het punt waarop het kruis van hem. De top van het vierkant liggen op een cirkel omschreven omheen. Door het bovenste midden van het vierkant in de diagonaal uitstrekt, die ook de bissectrice en de straal van de omgeschreven cirkel.

Aangezien het kwadraat - een vlak figuur knip en bouwen een vierkante dwarsdoorsnede is niet mogelijk. Maar het kan het gevolg zijn van de kruising van veel volumineuze lichaam vliegtuig zijn. Bijvoorbeeld een cilinder. Axiale doorsnede van een cilinder - een rechthoek of vierkant. Zelfs vierkant kan gebeuren op het snijpunt van het vlak van het lichaam op elke hoek!

Maar het plein is er een andere houding ten opzichte van de dwarsdoorsnede, maar niet voor sommigen, maar aan de gulden snede.

We weten allemaal dat de Gulden Snede - een verhouding waarin men waarde geldt voor een ander, alsmede hun som op een grotere waarde. Kortom, dit percentage is als volgt: de referentiewaarde (hoeveelheid) wordt gedeeld door 62 en 38 procent.

De gulden snede is erg populair. Het wordt gebruikt in het ontwerp, architectuur, ja overal, zelfs in de economie. Maar het is niet alleen het aandeel verkregen door Pythagoras. Er zijn, bijvoorbeeld, zelfs de uitdrukking "√2". Op basis hiervan de constructie van de dynamische rechthoeken, die op hun beurt stichters formaten groep A (A6, A5, A4, etc.). Waarom hebben we het over de dynamische rechthoeken? Omdat hun constructie begint met een vierkant.

Ja, moet u eerst een vierkant te bouwen. Zijn zijde zal gelijk zijn aan de kleine kant van de rechthoek van de toekomst. Dan moet je de diagonaal van het plein te houden en met behulp van het kompas, de lengte van de diagonaal om de voortzetting van het plein uit te stellen. Vanuit het oogpunt verkregen bij het snijpunt bouwen van een rechthoek waarvan de diagonale opnieuw opbouwen en de lengte uit te stellen bijzetzijde. Als u blijven werken aan deze regeling, zal het zeer dynamisch rechthoeken ontvangen.

De verhouding van de lange zijde kortsluiten eerste rechthoek is 0,7. Het is bijna 0,68 in de gulden snede.

De hoeken van het vierkant

Eigenlijk, iets fris te zeggen over de hoeken is moeilijk. Alle eigenschappen, ze zijn ook tekenen van het plein, hebben we vermeld. Wat betreft de hoeken, vier van hen (zoals in een vierkant), elke hoek van de vierkante - een rechte lijn, dat wil zeggen een afmeting van negentig graden. Per definitie is een rechthoekig vierkant. Als de hoeken van de grotere of kleinere - dit is een ander bedrag.

Diagonaal van een vierkant gehalveerd de hoeken, dat wil zeggen zij de bissectrices.

square vergelijking

Indien nodig de waarde van verschillende grootten te berekenen in een vierkant (vierkante omtrek lengten van de zijden of de diagonalen) gebruiken verschillende vergelijkingen die zijn afgeleid van de eigenschappen van een vierkant en de basiswetten van geometrische regels.

1. Vergelijking vierkant gebied

Uit de vergelijkingen voor het vierzijdige gebied te berekenen, weten we dat het (het gebied) is het product van lengte en breedte. En het kwadraat zijde gelijke lengte, het gebied zal gelijk zijn aan de lengte van beide zijden, gebouwd in de tweede graad

S = ^a2.

Gebruik van de stelling van Pythagoras, kunnen we het gebied van een vierkante kennen van de lengte van de diagonaal te berekenen.

S = ^{02/02 d.}

2. Vergelijking van de vierkante omtrek

De omtrek van het vierkant, en alle vierhoeken, gelijk aan de som van de lengtes van de zijden, en aangezien zij allen hetzelfde kan worden gezegd dat het kwadraat van de omtrek is de lengte van het deel, verviervoudigd

P = a + a + a + a = 4a.

Opnieuw stelling van Pythagoras helpt ons om de omtrek door de diagonale vinden. Er moet de diagonale lengte vermenigvuldigd met twee wortels van twee waarde

P = 2√2d

3. Vergelijking diagonaal van het vierkant

Diagonaal van een vierkant zijn gelijk aan elkaar snijden onder rechte hoeken en verdeelde het snijpunt van twee.

Je kunt ze vinden op basis van de bovenstaande vergelijkingen van de oppervlakte en omtrek van een vierkant

d = √2 * a, d = √2S, d = P / 2√2

Er zijn manieren om erachter te komen wat is de lengte van de diagonaal van een vierkant. De straal van de ingeschreven cirkel in een vierkant is gelijk aan de halve diagonaal, vandaar

d = √2D = 2√2R, waarbij D - diameter en R - de straal van de ingeschreven cirkel.

Het kennen van de straal van de omgeschreven cirkel, bereken diagonaal nog eenvoudiger, omdat de diameter is, dat wil zeggen d = D = 2R.

Het is ook mogelijk de lengte van de diagonaal te berekenen, te weten de lengte van de lijn die uit de hoek naar het midden van het vierkant C: d = √8 / 5 * C.

Maar vergeet niet dat het plein - een vliegtuig plot, begrensd door vier kruisende lijnen.

Voor leidingen (en gevormde vormen met) er voldoende vergelijkingen vereisen geen verdere beschrijving, maar de lijn is eindeloos. Een beperkt polygonen lijnen kruising. Voor hen is het mogelijk om lineaire vergelijkingen gecombineerd bepalen van de rechte lijn. Maar het is noodzakelijk om extra parameters te specificeren, omstandigheden.

De veelhoeken bepalen moet een dergelijke vergelijking die niet online, maar afzonderlijke willekeurig interval beschrijven zonder interferentie met aanvullende Algemene beschrijving maken.

_{[X / x i] * [} xi / x] * yj - dit is een speciale vergelijking voor veelhoeken.

De haken daarin wijzen op een uitzonderingsvoorwaarde een breukdeel van het getal, dat is, moeten we alleen het gehele getal verlaten. _yi - een functie die in het gebied van de parameter x te _xi.

Met deze vergelijking kunnen we een nieuwe vergelijking met de lengten en de lijn die uit meerdere segmenten te berekenen leiden. Het is een eenvoudige, universeel voor polygonen.

Anders, het plein - het deel van het vlak, zodat de beschrijving van het type y = f (x) kan worden weergegeven, meestal alleen als een meerwaardige functie, die op zijn beurt kan worden uitgedrukt ondubbelzinnig als presenteren parametrisch, die afhankelijk is van de een parameter t:

x = f (t), y = f (t).

Dus, indien zij samen universele vergelijking en parametrische representatie is echt mogelijk om een vergelijking af te leiden voor de expressie van veelhoeken:

x = ((A2 + A3) * A5 + A4 * P) * cos (L)

y = ((A1 + A4) * A5 + A3 * P) * sin (L)

waarin

A1 = [1 / [T / P]] * [T / P]; A2 = [2 / [T / P]] * [[T / P] / 2]; A3 = [3 / [T / P]] * [[T / P] / 3]; A4 = [4 / [T / P]] * [[T / P] / 4]; A5 = TP * [T / P],

waarbij P - diagonaal van de rechthoek L - de hellingshoek met de horizontaal, diagonaal P, T - variatie van de parameters in het traject P 5P.

Als L = 3,14 / 4, dan wordt de vergelijking kwadraten van verschillende afmetingen te beschrijven, afhankelijk van de grootte van de diagonaal P.

Het gebruik van vierkante

In de huidige wereld van de technologie kunt u de verschillende materialen vierkante vorm, of beter gezegd een vierkante dwarsdoorsnede te bevestigen.

Dit is grotendeels gunstig, goedkoper, duurzamer en veiliger. Dus, nu doen vierkante buizen, palen, draden (bedrading) en zelfs een vierkante draad.

Belangrijkste voordelen liggen voor de hand, ze komen van de elementaire meetkunde. Met dezelfde hoeveelheid van de ingeschreven cirkel met een vierkant gebied kleiner is dan het gebied waar het ingevoerde derhalve doorvoercapaciteit of het stroomverbruik van de vierkante buis vierkante draden groter is dan die van de ronde analogen.

Vaak verbruiksartikelen plein meer esthetisch en gemakkelijk te gebruiken, te installeren, te monteren.

Bij de keuze van deze materialen is het belangrijk om correcte berekening van de vierkante dwarsdoorsnede met een draad of pijp weerstond de vereiste belasting. In elk geval zal natuurlijk parameters nodig zoals stroomsterkte of druk zonder elementaire geometrische regels van het vierkant kan hier niet. Hoewel de omvang van vierkante sectie is niet zozeer berekend naar keuze van de gegeven parameters van de gasten uiteengezet voor diverse industrieën tafels.