Regel van Cramer en de toepassing ervan

Cramer regel - is een van de exacte methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen (Slough). De nauwkeurigheid ervan te wijten aan het gebruik van de determinanten van het systeem matrix, evenals enkele van de voorwaarden van het bewijs van de stelling beperkingen.

Een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen met coëfficiënten die behoren tot bijvoorbeeld een aantal R - reële getallen onbekenden x1, x2, ..., Xn een verzameling expressies

AI2 x1 + x2 + AI2 ... xn ain = bi met i = 1, 2, ..., m, (1)

waarbij aij, bi - reële getallen. Elk van deze uitdrukkingen wordt een lineaire vergelijking, aij - coëfficiënten van de onbekenden, bi - onafhankelijke coëfficiënten vergelijkingen.

oplossing van (1) genoemde n-dimensionale vector x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), waarbij substitutie in het systeem voor de onbekenden x1, x2, ..., xn, elk van de leidingen in het systeem wordt beste vergelijking .

Het systeem heet consistent als het ten minste één oplossing en inconsistent, indien het samenvalt met de oplossing set van de lege verzameling.

Men moet niet vergeten dat om oplossingen stelsels lineaire vergelijkingen volgens de methode van voorbeeld Cramer, matrixsystemen moet vierkant zijn, wat in feite betekent hetzelfde aantal onbekenden en vergelijkingen in het systeem.

Dus, om Cramer methode te gebruiken, moet je op zijn minst weten wat de Matrix is een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen, en het is afgegeven. En ten tweede, om te begrijpen wat is de determinant van de matrix en de eigen vaardigheden van berekening genaamd.

Laten we aannemen dat deze kennis die je bezit. Geweldig! Dan moet je gewoon onthouden formules bepalen van Kramer methode. Ter vereenvoudiging memoriseren gebruikt u de volgende notatie:

• Det - de belangrijkste determinant van de matrix van het systeem;

• deti - is de determinant van de matrix verkregen uit de primaire matrix van het systeem door het vervangen i-de kolom van de matrix een kolomvector waarvan de elementen de rechterkant van lineaire algebraïsche vergelijkingen;

• n - het aantal onbekenden en vergelijkingen in het systeem.

Vervolgens regel van Cramer berekening i-de component xi (i = 1, .. n) n-dimensionale vector x worden geschreven als

xi = deti / Det, (2).

In dit geval Det strikt nul is.

De uniekheid van de oplossing van het stelsel wanneer deze gezamenlijk door de ongelijkheidsconditie van de voornaamste determinant van het systeem op nul. Anders, als de som van (xi), geregeld, strikt positief, dan SLAE een vierkante matrix is onhaalbaar. Dit kan met name optreden wanneer ten minste één van deti nul.

Voorbeeld 1. De driedimensionale LAU dat gebruik Cramer formule lossen.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Besluit. We noteren de matrix van het stelsel lijn per lijn, waarbij Ai - is de i-de rij van de matrix.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolom vrije coëfficiënten b = (31 oktober 29).

Het hoofdsysteem is de determinant Det
Det = a11 a22 a33 a12 a23 a31 + + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1-20 + 12-12 + 2-10 = -27.

Het berekenen permutatie DET1 behulp a11 = b1, b2 = a21, a31 = b3. dan
DET1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Evenzo naar DET2 gebruik substitutie a12 = b1, b2 = a22, a32 = b3 berekenen en bijgevolg onder det3 berekenen - a13 = b1, b2 = a23, a33 = b3.
135 - Dan kunt u dat DET2 = -108 en det3 = controleren.
Volgens de formules Cramer voorbeeld x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Antwoord: x ° = (3,4,5).

Beroep op de toepasbaarheid van deze regel kan de werkwijze van Kramer oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen indirect worden gebruikt, bijvoorbeeld om het systeem op mogelijke aantal oplossingen afhankelijk van de waarde van een parameter k onderzoeken.

Voorbeeld 2. Het bepalen van welke waarden van de parameter k ongelijkheid | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 precies één oplossing.

Besluit.
Deze ongelijkheid, de definitie van de module kan alleen worden uitgevoerd wanneer beide uitdrukkingen gelijktijdig nul. Daarom wordt dit probleem gereduceerd tot oplossing van lineaire algebraïsche vergelijkingen

kx - y = 4,
x + ky = -4.

De oplossing voor dit systeem indien het de belangrijkste determinant van de
Det = k ^ {2} + 1 niet-nul. Het is duidelijk dat aan deze voorwaarde is voldaan voor alle reële waarden van de parameter k.

Antwoord: voor alle reële waarden van de parameter k.

De doelstellingen van deze soort kan ook worden verminderd veel praktische problemen op het gebied van wiskunde, natuurkunde of scheikunde.