Hoe de hoogte van een gelijkzijdige driehoek te vinden? Formule locatie, height in een gelijkzijdige driehoek

Geometry - het is niet alleen een vak op school waarop je nodig hebt om een perfecte score te halen. Het is ook een kennis die vaak in het leven is vereist. Wanneer bijvoorbeeld het bouwen van een huis met een hoog dak moet de dikte van de stammen en hun aantal te berekenen. Het is makkelijk als je weet hoe je de hoogte van een gelijkzijdige driehoek te vinden. Architectonische structuren zijn gebaseerd op kennis van de eigenschappen van geometrische figuren. De vormen van de gebouwen zijn vaak visueel lijken op hen. De Egyptische piramides, de verpakkingen van melk, artistiek borduurwerk, het noorden van het schilderen en zelfs cakes - alle driehoekjes rondom de man. Zoals Plato zei, is de hele wereld op basis van driehoeken.

gelijkbenige driehoek

Om het duidelijker te maken, zoals hieronder zal worden besproken, is het de moeite waard een beetje naar de basis van de geometrie herinneren.

De driehoek gelijkbenig wanneer twee gelijke zijden. Ze noemen altijd kant. Partij waarvan de afmetingen afwijken, basen genoemd.

basisbegrippen

Zoals elke wetenschap, geometrie heeft zijn eigen basisregels en concepten. Veel van hen. Denk alleen die zonder welke ons thema enigszins onduidelijk zal zijn.

Hoogte - dit is een rechte lijn loodrecht op de tegenoverliggende zijde.

België - een segment geleid vanuit elk hoekpunt van de driehoek alleen naar het midden van de tegenoverliggende zijde.

Bissectrice - een balk die in tweeën verdeelt de hoek.

Bisector van een driehoek - is een direct, of liever het segment bisector, verbindt de bovenkant van de tegenoverliggende zijde.

Het is belangrijk om te onthouden dat de bissectrice van de hoek - het verplicht straal en driehoek bissectrice - een deel van de bundel.

De basishoeken van

De stelling bepaalt dat de hoeken aan de onderkant van elke gelijkbenige driehoek zijn altijd gelijk. Om deze stelling te bewijzen is zeer eenvoudig. Overweeg toont een gelijkbenige driehoek ABC, waarbij AB = BC. Van ABC bisector hoek nodig om HP. Nu zijn de twee resulterende driehoek moet worden overwogen. Op voorwaarde AB = BC, de HP zijde van de driehoeken in het algemeen, en de hoeken AED en SVD gelijk, omdat VD - bisector. Het herinneren van het eerste teken van gelijkheid, kunnen we veilig concluderen dat de driehoeken gelijk worden beschouwd. Bijgevolg alle relevante hoeken gelijk. En, natuurlijk, de partijen, maar tegen die tijd zal later terugkomen.

De hoogte van de gelijkbenige driehoek

De fundamentele theorema, dat gebaseerde oplossing voor vrijwel alle taken, is: hoogte in een gelijkzijdige driehoek is bisector en mediaan. Om de praktische zin (of essentie) te begrijpen moet de steun rekening te houden. Om dit te doen, snijd papier gelijkbenige driehoek. De eenvoudigste manier om dit te doen van een gewone vel notebook in de doos.

Vouw de resulterende driehoek in de helft, uitlijnen van de zijkanten. Wat is er gebeurd? Twee gelijke driehoeken. Controleer nu de gissingen. Vouw de resulterende origami. Teken een vouwlijn. Met gradenboog controleer de hoek tussen de ingesneden lijn en een driehoek base. Wat doet de hoek van 90 graden? Dat de lijn - dwars. Per definitie - hoogte. Hoe de hoogte van een gelijkzijdige driehoek te vinden, hebben we begrepen. Nu voor de hoeken aan de top. Met dezelfde controle gradenboog hoeken, wordt nu gevormd al hoog. Ze zijn gelijk. Dit betekent dat de hoogte zowel bisector. Gewapend met een liniaal de segmenten waarin de hoogte van de basis. Ze zijn gelijk. Dientengevolge is de hoogte in een gelijkzijdige driehoek snijdt de basis en een mediaan.

het bewijs

Visuele hulpmiddelen toont duidelijk de geldigheid van de stelling. Maar geometrie - de wetenschap nauwkeurig genoeg, zo vanzelfsprekend.

Tijdens de behandeling van de gelijkheid van de hoeken aan de basis had gelijke driehoeken bewezen. Recall, WA - bissectrice en de driehoeken AED en SVD zijn gelijk. De conclusie was dat de corresponderende zijden van de driehoek en natuurlijk de hoeken gelijk. Dus AD = SD. Bijgevolg, WA - mediaan. Het blijft om te bewijzen dat HP is hoog. Op basis van de gelijke driehoeken gehouden, blijkt dat een hoek gelijk aan de hoek ADV ADD. Maar deze twee hoeken aangrenzend en gekend optellen tot 180 graden. Daarom, wat ze zijn? Natuurlijk, 90 graden. Aldus HP - de hoogte in een gelijkzijdige driehoek opgesteld op de basis. QED.

Belangrijkste kenmerken

• Om de uitdagingen aan te gaan, moet de belangrijkste kenmerken van gelijkbenige driehoeken herinneren. Ze lijken het omgekeerde stelling zijn.
• Indien in de loop van het oplossen van de gedetecteerd door de gelijkheid van twee hoeken probleem, betekent dit dat je te maken met een gelijkbenige driehoek.
• Als u niet in staat om te bewijzen dat de mediaan is ook de hoogte van de driehoek, veilig omsluiten zijn - de driehoek is gelijkbenige.
• Indien de bissectrice de hoogte dan op basis van de hoofdkenmerken van de genoemde driehoek een gelijkbenige driehoek.
• En, natuurlijk, als de mediaan en dient als een hoogte, bijvoorbeeld een driehoek - gelijkbenige.

de hoogte van de Formule 1

Echter, voor de meeste taken, moet u de rekenkundige hoogte waarde te vinden. Dat is de reden waarom we nagaan hoe de hoogte van een gelijkzijdige driehoek te vinden.

Terugkerend naar de bovenstaande figuur, ABC, waarbij een - zijden - base. HP - de hoogte van de driehoek, heeft het h symbool.

Wat is de driehoek AED? Aangezien HP - hoogte, dan is de driehoek AED - rechthoekige been dat u wilt zoeken. Met behulp van de Pythagoras formule, krijgen we:

= + AV² AD² VD²

Het definiëren van de uitdrukking VD en te vervangen door eerder aangenomen benamingen, krijgen we:

N² = A² - (a / 2) ².

U moet de wortel te verwijderen:

H = √a² - v² / 4.

Als je een ¼ van het teken van de wortel te maken, dan is de formule zou zijn:

H = ½ √4a² - v².

Zo is de hoogte in een gelijkzijdige driehoek. De formule afgeleid van de stelling van Pythagoras. Zelfs als we de symbolische notatie vergeten, dan, wetende dat de methode voor het vinden, kunt u altijd brengen.

de hoogte van de formule 2

De bovenbeschreven formule basis- en meest gebruikte in de meeste meetkundige problemen. Maar zij was niet de enige. Soms verschaft in plaats van een basiswaarde bepaalde hoek. Wanneer gegevens zoals het vinden van een hoogte van een gelijkzijdige driehoek? Om deze problemen is het raadzaam om een andere formule te gebruiken op te lossen:

H = a / sin α,

waarbij H - hoogte, naar de basis,

en - een laterale zijde,

α - hoek bij de basis.

Blijft dezelfde hoek wordt gegeven bij de top, de hoogte in een gelijkzijdige driehoek is als volgt:

H = a / cos (β / 2),

waarbij H - hoogte verlaagd tot de basis ,,

β - de hoek bij de top,

en - kanten.

Rechts gelijkbenige driehoek

Zeer interessante eigenschap heeft een driehoek, waarvan de top gelijk is aan 90 graden is. Overweeg een rechthoekige driehoek ABC. Net als in voorgaande gevallen, WA - hoogte naar de basis.

De basis hoeken gelijk. Bereken hun grote werk niet zal maken:

α = (180-90) / 2.

Aldus hoeken aan de onderkant, altijd 45 graden. Overweeg nu ADV driehoek. Hij is ook rechthoekig. Wij vinden de hoek AED. Door eenvoudige berekeningen krijgen we 45 graden. En dus, deze driehoek is niet alleen goed, maar ook een gelijkbenige. De zijkanten AD en VD zijn de zijkanten en gelijk.

Maar side AD op hetzelfde moment is de helft van de AU. Het blijkt dat de hoogte van een gelijkzijdige driehoek gelijk is aan de helft van de base, zoals wanneer het in de vorm van een formule van de volgende uitdrukking krijgen we:

H = a / 2.

Men mag niet vergeten dat deze formule slechts een speciaal geval, en kan alleen worden gebruikt voor de rechthoekige gelijkbenige driehoeken.

De Gouden Driehoek

Zeer interessant is de gouden driehoek. In deze figuur is de verhouding van de zijde van de basis gelijk aan de waarde, genoemd aantal Phidias. Hoek zich boven - 36 graden, met de basis - 72 graden. Deze driehoek bewonderd Pythagoreeërs. Golden Triangle principes vormen de basis van een aantal onsterfelijke meesterwerken. De bekende vijfpuntige ster gebouwd op de kruising van gelijkbenige driehoeken. Voor veel werken van Leonardo da Vinci gebruikt het principe van de "gouden driehoek". Samenstelling "Mona Lisa" is gebaseerd alleen op de cijfers, die een recht pentagram te creëren.

Schilderen "kubisme", een van Pablo Pikasso werkt, fascinerend uitzicht vormt de basis van een gelijkbenige driehoek.