Het eerste teken van de gelijkheid van driehoeken. De tweede en derde tekenen van de gelijkheid van driehoeken

Onder het enorme aantal polygonen, die in feite een gesloten niet-kruisende gebroken lijn zijn, is de driehoek het getal met het minste aantal hoeken. Met andere woorden, dit is de eenvoudigste veelhoek. Maar ondanks al zijn eenvoud, bevat dit cijfer veel mysteries en interessante ontdekkingen, die onder een speciaal onderdeel van de wiskunde-geometrie vallen. Deze discipline wordt sinds de zevende graad op school geleerd, en hier wordt het onderwerp "Driehoek" hierbij speciaal onderzocht. Kinderen leren niet alleen de regels over het figuur zelf, maar vergelijken ook met 1, 2 en 3 tekenen van gelijkheid driehoeken.

Eerste kennismaking

Een van de eerste regels waarmee studenten kennis hebben, klinkt als volgt: de som van de magnitudes van alle hoeken van de driehoek is 180 graden. Om dit te bevestigen is het voldoende om elke hoekpunt te meten met behulp van een gradenpoot en voeg alle resulterende waarden toe. Vanuit dit, voor twee bekende hoeveelheden is het makkelijk om de derde te bepalen. Bijvoorbeeld : in een driehoek is een van de hoeken 70 °, en de andere - 85 °, wat is de waarde van de derde hoek?

180 - 85 - 70 = 25.

Antwoord: 25 °.

Problemen kunnen ingewikkelder zijn als er maar één waarde van de hoek is gespecificeerd en de tweede waarde zegt alleen hoeveel of hoe vaak het groter of minder is.

In de driehoek, om een van zijn kenmerken te bepalen, kunnen speciale lijnen worden getekend, die elk een eigen naam hebben:

• Hoogte - een loodrechte lijn die van boven naar tegengestelde zijde is getekend;
• Alle drie de hoogten die tegelijkertijd in het midden van de figuur staan, snijden elkaar en vormen een orthocenter die, afhankelijk van het type driehoek, zowel binnen als buiten kan zijn;
• Mediaan - de lijn die de vertex verbindt met het midden van de tegenovergestelde kant;
• Het kruispunt van de medianen is het zwaartepunt, is binnen de figuur;
• Bisectrix is een lijn die van de vertex naar het snijpunt van de tegenovergestelde kant gaat, het snijpunt van de drie bisectoren is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.

Eenvoudige waarheden over driehoeken

Driehoeken, zoals inderdaad alle figuren, hebben hun eigen kenmerken en eigenschappen. Zoals eerder vermeld, is deze figuur de eenvoudigste veelhoek, maar met zijn eigen karakteristieke kenmerken:

• Tegen de langste kant is er altijd een hoek met een grotere waarde en omgekeerd;
• Gelijke hoeken liggen op gelijke kanten, een gelijkmatige driehoek is een voorbeeld;
• De som van de inwendige hoeken is altijd 180 °, die al door het voorbeeld is aangetoond;
• Wanneer een zijde van de driehoek verder dan zijn grenzen wordt verlengd, wordt een externe hoek gevormd, die altijd gelijk zal zijn aan de som van de hoeken die er niet aan grenzen;
• Elk van de partijen is altijd minder dan de som van de andere twee partijen, maar meer dan hun verschil.

Soorten driehoeken

De volgende fase van bekendheid is om de groep te bepalen waaraan de vertegenwoordigde driehoek behoort. Van een of andere vorm hangt af van de hoeken van de driehoek.

• Gelijk - met twee gelijke kanten, die lateraal genoemd worden, fungeert de derde in dit geval als de basis van de figuur. De hoeken aan de basis van zo'n driehoek zijn hetzelfde, en de mediane van boven is de bisectrix en de hoogte.
• Een regelmatige of evenwijdige driehoek is één met alle zijkanten gelijk.
• Rechthoekig: een van de hoeken is 90 °. In dit geval wordt de zijkant tegenover deze hoek de hypotenuse genoemd, en de andere twee heet de benen.
• Scherpe driehoek - alle hoeken zijn minder dan 90 °.
• Obtuse-angled - een van de hoeken is groter dan 90 °.

Gelijkheid en de gelijkenis van driehoeken

In het proces van leren beschouwen we niet alleen een enkel cijfer, maar vergelijken we ook twee driehoeken. En dit schijnbaar eenvoudige onderwerp heeft veel regels en theorems waarop men kan aantonen dat de getallen in overweging gelijkwaardige driehoeken zijn. De tekens van gelijkheid van driehoeken hebben de volgende definitie: driehoeken zijn gelijk indien hun respectieve zijden en hoeken hetzelfde zijn. Met deze gelijkheid, als u deze twee figuren op elkaar overbrugt, zullen alle lijnen elkaar samenvallen. Ook kunnen de cijfers vergelijkbaar zijn, met name het betreft bijna identieke cijfers, die slechts verschillen in grootte. Om zo'n conclusie over de vertegenwoordigde driehoeken te maken, moet aan één van de volgende voorwaarden worden voldaan:

• Twee hoeken van één figuur zijn gelijk aan twee hoeken van de andere;
• De beide zijden van een zijn evenredig aan de twee zijden van de tweede driehoek, en de hoeken die door de zijkanten worden gevormd zijn gelijk;
• De drie zijden van de tweede figuur zijn hetzelfde als de eerste.

Natuurlijk, voor onbetwistbare gelijkheid, die de geringste twijfel niet zal veroorzaken, is het nodig om dezelfde waarden voor alle elementen van beide figuren te hebben, maar met behulp van de theorems wordt het probleem sterk vereenvoudigd, en slechts een paar voorwaarden zijn toegestaan om de gelijkheid van de driehoeken te bewijzen.

Het eerste teken van de gelijkheid van driehoeken

Problemen op dit onderwerp worden opgelost aan de hand van het bewijs van de stelling, die luidt: "Als de twee zijden van de driehoek en de hoek die zij vormen gelijk zijn aan twee zijden en de hoek van de andere driehoek, dan zijn de figuren ook gelijk."

Hoe klinkt het bewijs van de stelling voor het eerste teken van de gelijkheid van driehoeken? Iedereen weet dat twee segmenten gelijk zijn als ze van dezelfde lengte zijn of cirkels gelijk zijn als ze dezelfde radius hebben. En in het geval van driehoeken, zijn er meerdere tekens, met welke, er kan worden aangenomen dat de figuren identiek zijn, wat zeer geschikt is voor het oplossen van verschillende geometrische problemen.

Hoe is de stelling "Het eerste teken van de gelijkheid van driehoeken" geluid, hierboven beschreven, maar het bewijs ervan:

• Stel dat driehoeken ABC en A ₁ B ₁ C ₁ dezelfde zijden AB en A ₁ B ₁ respectievelijk BC en B ₁ C _{1 hebben} , en de hoeken die door deze zijden worden gevormd, hebben dezelfde waarde, dat wil zeggen dat ze gelijk zijn. Vervolgens krijgen we de toeval van alle lijnen en hoekpunten, waarbij △ ABC wordt toegepast op △ A ₁ B ₁ C ₁ . Vandaar dat deze driehoeken absoluut identiek zijn en daarom gelijk zijn aan elkaar.

De stelling "Het eerste teken van de gelijkheid van driehoeken" heet ook "aan twee zijden en een hoek". Eigenlijk is dit de essentie ervan.

De tweede karakteristieke stelling

Het tweede teken van gelijkheid is op dezelfde manier bewezen, het bewijs is gebaseerd op het feit dat wanneer de cijfers op elkaar liggen, samenvallen zij helemaal op alle hoekpunten en kanten. En de stelling klinkt als volgt: "Als één zijde en twee hoeken in de vorming waarvan het deelneemt overeenkomen met de zijde en twee hoeken van de tweede driehoek, dan zijn deze figuren identiek, dat is gelijk."

Het derde teken en het bewijs

Als zowel de 2's als de 1's van de gelijkheid van de driehoeken zowel de zijkanten als de hoeken van de figuur raken, dan verwijst de derde alleen naar de zijkanten. Dus de stelling heeft de volgende formulering: "Als alle kanten van een driehoek gelijk zijn aan drie zijden van de tweede driehoek, dan zijn de figuren identiek."

Om deze theorie te bewijzen, moeten we meer in detail in de definitie van gelijkheid gaan. Wat betekent in feite de uitdrukking "driehoeken gelijk"? Identiteit betekent dat als je één figuur op een andere overlaagt, al hun elementen samenvallen, het kan alleen zijn als hun kanten en hoeken gelijk zijn. Tegelijkertijd zal de hoek tegenover één van de zijkanten, die hetzelfde is als die van de andere driehoek, gelijk zijn aan de corresponderende hoek van de tweede figuur. Opgemerkt moet worden dat het bewijs op dit moment gemakkelijk kan worden omgezet in 1 teken van gelijkheid van driehoeken. Als een dergelijke volgorde niet wordt waargenomen, is de gelijkheid van de driehoeken simpelweg onmogelijk, behalve wanneer de figuur een spiegelbeeld van de eerste is.

Rechthoekige driehoeken

In de structuur van dergelijke driehoeken zijn er altijd hoekpunten met een hoek van 90 °. Daarom zijn de volgende beweringen waar:

• Driehoeken met een rechte hoek zijn gelijk als de benen van één identiek zijn aan de benen van de tweede;
• Cijfers zijn gelijk als hun hypotenuse en een van de benen gelijk zijn;
• Dergelijke driehoeken zijn gelijk als hun benen en acute hoek identiek zijn.

Dit attribuut heeft betrekking op rechthoekige driehoeken. Om de stelling te bewijzen, breng de toepassing van de figuren aan elkaar toe, waardoor de driehoeken door de benen worden gevouwen, zodat er vanuit de twee rechte lijnen een ontvouwde hoek is met de zijden CA en CA ₁ .

Praktische toepassing

In de meeste gevallen wordt in de praktijk het eerste teken van gelijkheid van driehoeken toegepast. In feite is dit schijnbaar eenvoudige thema van de 7e klas in geometrie en planimetrie ook gebruikt om bijvoorbeeld de lengte van een telefoonkabel te berekenen zonder het terrein waarover het gaat, te meten. Met behulp van deze theorem is het makkelijk om de nodige berekeningen te maken om de lengte van het eiland in het midden van de rivier te bepalen, niet te oversteken. Versterk of de hek hetzij door de balk in de span te plaatsen, zodat het in twee gelijke driehoeken verdeelt, of complexe elementen van het timmerwerkwerk berekenen of bij het berekenen van het dakbedekkingssysteem tijdens de bouw.

Het eerste teken van gelijkheid van driehoeken heeft een brede toepassing in het echte "volwassen" leven. Hoewel in schooljaren dit onderwerp voor velen lijkt saai en helemaal onnodig.