De basis, kant en vol: Hoe kan het gebied van een piramide te berekenen?

Ter voorbereiding op het examen in de wiskunde studenten om de kennis van algebra en meetkunde systematiseren. Ik wil graag alle bekende informatie combineren, zoals hoe om het gebied van een piramide te berekenen. Bovendien beginnen bij de bodem en zijvlakken totdat het gehele oppervlak. Als de zijvlakken de situatie duidelijk, aangezien zij driehoeken, de basis altijd anders.

Hoe kan wanneer het gebied van de basis van de piramide zijn?

Het kan heel elke figuur van een willekeurige driehoek n-gon. En deze basis, behalve het verschil in het aantal hoeken kan juist of onjuist hoeveelheid. In het belang van de leerlingen taken op het examen alleen gevonden banen met de juiste cijfers in de basis. Daarom zullen we alleen maar praten over hen.

gelijkzijdige driehoek

Dat is gelijkzijdige. Eén dat alle partijen gelijk zijn en door de letter "a" worden aangeduid. In dit geval wordt het grondvlak van de piramide berekend met de formule:

S = ⁽² * √3) / 4.

vierkant

De formule voor het berekenen van het gebied is de eenvoudigste, is "a" - zijde weer:

En S = ^2.

Willekeurige regelmatige n-gon

Aan de zijkanten van de veelhoek dezelfde aanduiding. Voor het aantal hoeken gebruikte Latijnse brief n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180 ° / n)) .

Hoe in de berekening van de oppervlakte van de laterale en volledige oppervlak aan te gaan?

Aangezien de grondslag juist is, dan alle vlakken van de piramide gelijk. Elk waarvan een gelijkbenige driehoek, omdat de zijranden gelijk. Vervolgens, teneinde het oppervlak van een zijde van de piramide berekening nodig formule, bestaande uit dezelfde hoeveelheid monomials. Het aantal termen wordt bepaald door de hoeveelheid base zijkanten.

Het gebied van een gelijkbenige driehoek wordt berekend door de formule waarin de helft van het basisproduct wordt vermenigvuldigd met de hoogte. Deze hoogte van de piramide genaamd apothema. De aanduiding - "A". De algemene formule voor het oppervlak van het zijvlak is als volgt:

S = ½ P * A, waarbij P - omtrek van de basis van de piramide.

Er zijn momenten waarop het niet bekend is aan de bodemzijde, maar de zijranden (a) vlak en de hoek bij de top (α). Vervolgens voert hij de volgende formule op het dwarsvlak van de piramide te berekenen:

S = n / ^2-2 * sin α.

Taak № 1

Voorwaarde. Vind de totale oppervlakte van de piramide, indien de basis is een gelijkzijdige driehoek met een zijde van 4 cm en de waarde √3 apothema cm.

Besluit. Het moet beginnen met de berekening van de grondslag perimeter. Aangezien dit een gelijkzijdige driehoek, dan p = 3 * 4 = 12 cm apothema Zoals bekend is, kan men het gebied van het gehele mantelvlak :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2 direct ^berekenen.

De basisdriehoek verkrijgen van de waarde van de omgeving ⁽² * 4 √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Om het gehele gebied te bepalen moet de twee resulterende waarden vouwen: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Antwoord. 10√3 ^cm2.

Probleem № 2

Voorwaarde. Er is een regelmatige vierhoekige piramide. De lengte van de basis gelijk aan 7 mm, de zijrand - 16 mm. Je moet de oppervlakte te leren kennen.

Besluit. Aangezien het veelvlak - rechthoekige en correct aan zijn basis een vierkant is. Horen basisgebied en zijkanten kunnen de vierkante piramide tellen. De formule voor het vierkant is hierboven gegeven. En ik weet dat alle zijvlakken van de driehoek het. Daarom kunt u Heron's formule te gebruiken voor de berekening van hun gebied.

De eerste berekeningen eenvoudig en tot dit aantal: 49 ^mm2. De tweede berekenen nodig semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nu kunnen we het gebied van een gelijkbenige driehoek te berekenen: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54644 ^mm2. Er zijn vier driehoeken, dus bij de berekening van de definitieve cijfers zullen moeten worden vermenigvuldigd met 4.

Verkregen: 49 + 4 * = 54,644 267,576 ^mm2.

Antwoord. 267,576 gewenste waarde van ² mm.

Taak № 3

Voorwaarde. Op regelmatige vierhoekige piramide is noodzakelijk om het gebied te berekenen. Het is bekend van het vierkant - 6 cm en hoogte - 4 cm.

Besluit. De eenvoudigste manier om de formule te gebruiken om het product van de omtrek en apothema. De eerste waarde wordt gewoon gevonden. De tweede iets harder.

We moeten de stelling van Pythagoras onthouden en te overwegen een rechthoekige driehoek. Het wordt gevormd door de hoogte van de piramide en apothema, die de hypotenusa. Het tweede been halve zijde van het vierkant, als veelvlak hoogte valt in het midden ervan.

Begunstigd apothema (de schuine zijde van een rechthoekige driehoek) gelijk aan √ (3 + ² 4 ²⁾ = 5 (cm).

Nu is het mogelijk om de gewenste waarde te berekenen: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 = 96 ^{2 (cm2).}

Antwoord. 96 ^cm2.

Probleem № 4

Voorwaarde. Dana regelmatige zeshoekige piramide. De zijkanten van de basis gelijk aan 22 mm, de zijranden - 61 mm. Wat is de oppervlakte van het zijvlak van dit veelvlak?

Besluit. De redenering in deze zijn hetzelfde als beschreven in de taak №2. Alleen de piramide werd er besteed aan het plein bij de basis, en nu is het een zeshoek.

De eerste stap wordt berekend door het grondvlak van de bovenstaande formule ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Nu moet je halve omtrek van een gelijkbenige driehoek, dat is een zijvlak vinden. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 blijft formule Heron aan het oppervlak van elk van de driehoek te berekenen, en vervolgens vermenigvuldigen met zesvoudig en degene die gekeerd naar de basis.

Berekeningen aan Heron's formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 ^cm2. 660 * 6 = 3960 ^cm2: de berekeningen die lateraal oppervlak ^biedt. Het blijft om ze toe te voegen om uit te vinden het gehele oppervlak: 5217,47≈5217 ^cm2.

Antwoord. Middelen - 726√3 ^cm2, het zijoppervlak - 3960 ^cm2, het hele gebied - 5217 ^cm2.